Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Интеграл (11.11) можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница
2
1
( ) ( ) ( )
z
z
f z dz f z dz
γ
= = = −
∫ ∫
)Ф()Ф()Ф(
12
2
1
zzz
z
z
−==
, (11.13)
где Ф(z) – первообразная функции
)(zf
в области
D
(это означает, по определению, что Ф(z) аналитична в
D
и Ф′(z)
( ) ( )z f z
=
).
Покажем справедливость формулы (11.13). Для этого докажем вначале теорему о производной интеграла с переменным
верхним пределом интегрирования.
Теорема 11.2. Пусть функция
)(zf
непрерывна в односвязной области
D
и для произвольных точек
Dzz ∈
21
,
и
любых простых гладких или кусочно-гладких кривых
D⊂γγ
21
,
, соединяющих точки
1
z
и
2
z
, выполняется условие (11.7).
Тогда при любом фиксированном
Dz ∈
0
функция
∫
ζζ=
z
z
dfzF
0
)()(
,
D
z
∈
, (11.14)
аналитична в области
D
и
)()( zfzF
=
. (11.15)
Пусть
z
– произвольная фиксированная точка из
D
. По определению производной
(
)
(
)
zz
zFzF
zF
zz
−
−
=
′
→
1
1
1
lim)(
.
Следовательно, нужно показать, что
(
)
(
)
)(lim
1
1
1
zf
zz
zFzF
zz
=
−
−
∃
→
, (11.16)
т.е.
1
0 ( ), ( ) | ( )
O z z O z
δ δ
∀ ε > ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ⇒
&
(
)
(
)
1
1
( )
F z F z
f z
z z
−
− < ε
−
. (11.17)
Возьмём произвольное фиксированное
0
>
ε
. По условию теоремы функция
)(ζf
непрерывна в области
D
, в частности,
она непрерывна во взятой точке
D
z
∈
. Следовательно,
для
( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
2 2 2
O z O z f f z
δ δ
ε ε ε
∃ δ = δ = δ ε ∀ζ ∈ ⇒ ζ − <
. (11.18)
Рассмотрим произвольное фиксированное
)(
1
zOz
δ
∈
&
. В качестве кривой, соединяющей точки
0
z
и
1
z
рассмотрим кривую
1
γ∪γ=L
, где
γ
– какая-либо гладкая кривая, соединяющая точки
0
z
и
z
;
1
γ
– прямолинейный отрезок, соединяющий
точки
z
и
1
z
(рис. 11.3).
Рис. 11.3
Используя формулу (10.26), получаем

Страницы