Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 11.1. Пусть функция
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
+
=
определена в односвязной
области
D
и удовлетворяет следующим условиям:
а)
)(zf
аналитична в области
D
;
б)
)(zf
′
непрерывна в области
D
.
Тогда интеграл функции
)(zf
вдоль любого положительно ориентированного замкнутого простого гладкого или кусочно-
гладкого контура
D
⊂
γ
равен нулю:
( )
0
f z dz
γ
=
∫
. (11.2)
Пусть
γ
– положительно ориентированный замкнутый простой гладкий или кусочно-гладкий контур,
расположенный в
;D
1
D
– внутренность контура
γ
(рис. 11.1).
Рис. 11.1
В силу односвязности области
D
справедливо включение
.
1
DD
⊂
Следовательно, в силу условия а) функция
)(zf
аналитична в замкнутой области γ∪=
11
DD . Тогда в силу следствий 8.1, 5.3 функции
),(
yxu и
),( yxv
непрерывны
в
1
D
,
в
частности
,
непрерывны
на
γ
.
По
формуле
(10.10)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , , ,
γ γ γ
= − + +
∫ ∫ ∫
. (11.3)
Из
формул
(8.32), (8.35),
условия
б
)
и
следствия
5.3
вытекает
,
что
частные
производные
первого
порядка
функций
),(
yxu
и
),( yxv
непрерывны
в
1
D
.
Следовательно
,
к
каждому
из
интегралов
в
правой
части
(11.3)
можно
применить
формулу
(11.1):
( ) ( )
(
)
(
)
1
1
, ,
, ,
D
v x y u x y
I u x y dx v x y dy dxdy
x y
γ
∂ ∂
= − = − −
∂ ∂
∫ ∫∫
, (11.4)
( ) ( )
(
)
(
)
1
2
, ,
, ,
D
u x y v x y
I v x y dx u x y dy dxdy
x y
γ
∂ ∂
= + = −
∂ ∂
∫ ∫∫
. (11.5)
В
силу
условия
а
)
и
теоремы
9.3
в
области
D
,
в
частности
,
в
замкнутой
области
1
D
выполняются
условия
Коши
-
Римана
(
)
(
)
y
yxv
x
yxu
∂
∂
=
∂
∂
,,
,
(
)
(
)
x
yxv
y
yxu
∂
∂
−=
∂
∂
,,
. (11.6)
В
силу
(11.6)
подынтегральные
функции
в
правых
частях
формул
(11.4), (11.5)
равны
нулю
,
следовательно
,
0
1
=I
,
0
2
=I
.
Тогда
,
в
силу
(11.3),
справедлива
формула
(11.2).
Теорему
11.1
можно
сформулировать
в
следующем
виде
[1.4,
с
. 153]:
Теорема 11.1′. Пусть
а′
)
функция
)(
zf
аналитична
в
односвязной
области
D
и
на
ограничивающем
её
замкнутом
простом
гладком
или
кусочно
-
гладком
контуре
D
Г
,
т
.
е
.
аналитична
в
замкнутой
области
D
ГDD ∪=
1
;
б′
)
производная
)(
zf
′
непрерывна
в
D
.
Тогда

Страницы