Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

10.8. Если функция
)(zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
и
кривая
γ
разбита
на
n
частей
n
γγγ ..., , ,
21
так
,
что
конец
i
γ
совпадает
с
началом
1+
γ
i
(
11
−
≤
≤
ni
),
то
∫∫∫∫
γγγγ
+++=
n
dzzfdzzfdzzfdzzf )(...)()()(
21
(10.27)
или
в
более
краткой
записи
∑
∫∫
=
γγ
=
n
i
i
dzzfdzzf
1
)()(
.
Свойство
10.8
называется
свойством
аддитивности интеграла функции комплексного переменного
.
Замечание 10.2.
Если
функция
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного
переменного
iyxz
+
=
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
,
то
вещественная
функция
[ ] [ ]
2 2
( ) ( , ) ( , )
f z u x y v x y
= +
(10.28)
двух
вещественных
переменных
x
,
y
непрерывна
на
этой
кривой
.
Действительно
,
из
непрерывности
функции
)(zf
на
кривой
γ
вытекает
в
силу
следствия
5.3
непрерывность
),( yxu
и
),( yxv
на
γ
,
что
влечёт
за
собой
непрерывность
функции
(10.28).
Укажем
некоторые
оценки
сверху
модуля
интеграла
функции
комплексного
переменного
.
10.9.
Если
функция
)(
zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
,
то
( ) ( )
γ γ
≤
∫ ∫
, (10.29)
где
в
правой
части
записан
криволинейный
интеграл
первого
рода
от
функции
(10.28)
вдоль
кривой
γ
.
Действительно
,
оценим
сверху
модуль
интегральной
суммы
(10.4)
функции
)(
zf
.
Используя
(1.26), (1.20),
получаем
( ) ( )
1 1
n n
n k k k k
k k
S f z f z
= =
= ζ ∆ ≤ ζ ∆ =
∑ ∑
( ) ( )
1 1
n n
k k k k
k k
f z f l
= =
ζ ∆ ≤ ζ
∑ ∑
,
ибо
kk
lz ≤∆
,
nk ≤≤1
(
см
.
рис
. 10.4).
Получили
оценку
≤
n
S
( )
1
n
k k
k
f l
=
ζ
∑
. (10.30)
В
правой
части
(10.30)
записана
интегральная
сумма
функции
(10.28)
вдоль
кривой
γ
.
По
достаточному
признаку
существования
криволинейного
интеграла
первого
рода
[2.3,
с
. 258]
( )
1
max 0
1
lim ( )
k
k n
n
k k
l
k
f l f z dl
≤ ≤
→
=
γ
∃ ζ =
∑
∫
. (10.31)
В
силу
замечания
5.8
1 1
max 0 max 0
lim lim ( )
k k
k n k n
n n
l l
S S f z dz
≤ ≤ ≤ ≤
→ →
γ
∃ = =
∫
. (10.32)
Переходя
в
неравенстве
(10.30)
к
пределу
при
0max
1
→
≤≤
k
nk
l
и
учитывая
соотношения
(10.31), (10.32),
получаем
оценку
(10.29).
10.10.
Если
функция
)(
zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
и
( ) ,
f z M z
≤ ∀ ∈ γ
, (10.33)
то
( )
f z dz M l
γ
γ
≤
∫
, (10.34)
где
γ
l
–
длина
кривой
γ
.
Действительно
,
в
силу
(10.30), (10.33)

Страницы