Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
u x t y t x t v x t y t y t dt
β
α
′ ′
= − +
∫
( ) ( )
( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
i v x t y t x t u x t y t y t dt
β
α
′ ′
+ + =
∫
( ) ( )
[ ]
( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
u x t y t iv x t y t x t iy t dt
β
α
′ ′
= + + =
∫
( )
( ) ( )
f z t z t dt
β
α
′
∫
.
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (10.17).
Пример 10.1. Вычислить
(
)
2
3 2
z z dz
γ
+
∫
, где
2
: xy =γ
,
]1;0[
∈
x
.
Решение.
Изобразим
путь
интегрирования
γ
на
чертеже
(
рис
. 10.5).
Рис. 10.5
Заметим
,
что
кривую
γ
можно
задать
в
параметрической
форме
:
=
=
γ
,
,
:
2
ty
tx
]1;0[
∈
t
,
или
в
комплексной
параметрической
форме
вида
(10.1):
2
)(: itttzz +==γ
,
]1;0[
∈
t
.
Функции
ttx =)(
,
2
)( tty =
непрерывно
дифференцируемы
на
отрезке
[
]
1;0
и
021)()()( ≠+=
′
+
′
=
′
ittyitxtz
,
[
]
1;0∈∀t
.
Следовательно
,
γ
является
гладкой
кривой
.
Подынтегральная
функция
zzzf 23)(
2
+=
непрерывна
на
кривой
γ
,
ибо
она
непрерывна
на
множестве
Χ
как
целая
рациональная
функция
(
см
.
пример
6.9).
Найдём
действительную
и
мнимую
части
функции
).(zf
Пусть
,iyxz
+
=
),(),()( yxivyхuzf
+
=
.
Тогда
(
)
(
)
yxyixyxiyxiyxyxivyxu 26233)(2)(3),(),(
222
+++−=+++=+
,
т
.
е
.
xyxyxu 233),(
22
+−=
,
yxyyxv 26),( +=
.
По
формуле
(10.10)
(
)
(
)
( )
2 2 2
3 2 3 3 2 6 2
I z z dz x y x dx xy y dy
γ γ
= + = − + − + +
∫ ∫
( )
(
)
2 2
6 2 3 3 2
i xy y dx x y x dy
γ
+ + + − +
∫
. (10.18)
По
формуле
(10.9)
(
)
( )
2 2
1
3 3 2 6 2
I x y x dx xy y dy
γ
= − + − + =
∫
( ) ( )
1
2
2 2 2 2
0
3 3 2 6 2 2
x x x x x x x dx
= − + − ⋅ + =
∫

Страницы