Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, по определению,
n
l
Sdzzf
0
lim)(
→
γ
=
∫
или в более подробной записи
( )
1
max 0
1
( ) lim
k
k n
n
k k
l
k
f z dz f z
≤ ≤
→
=
γ
= ζ ∆
∑
∫
. (10.5)
Если существует интеграл (10.5), то функция
)(zf
называется интегрируемой вдоль кривой
γ
(по кривой
γ
). Кривая
γ
называется путём или контуром интегрирования.
Заметим, что
0 0 0
k k k
l z z
→ ⇔ ∆ → ⇔ ∆ →
. Следовательно,
0max 0
1
→∆⇔→
≤≤
k
nk
zl
. Тогда соотношение (10.5)
можно записать в виде
( )
1
max 0
1
( ) lim
k
k n
n
k k
z
k
f z dz f z
≤ ≤
∆ →
=
γ
∑
∫
. (10.6)
Положим
1
−
−=∆
kkk
ttt
,
nk ≤≤1
,
k
nk
t∆=λ
≤≤1
max
. Заметим, что
0 0 →∆⇔→
kk
tl
. Следовательно,
0 0 →λ⇔→l
.
Тогда соотношение (10.5) можно записать в виде
( )
1
max 0
1
( ) lim ( ) ( )
k
k n
n
k k
t
k
f z dz f z z
≤ ≤
∆ →
=
γ
= τ ∆ τ
∑
∫
. (10.7)
Вычисление интеграла функции комплексного переменного вдоль кривой сводится, как будет показано ниже, к
вычислению двух криволинейных интегралов второго рода по данной кривой. В свою очередь, вычисление каждого из этих
криволинейных интегралов сводится к вычислению определённого интеграла вещественной функции вещественной
переменной. В связи с этим напомним необходимые сведения о криволинейных интегралах второго рода, известные из курса
математического анализа.
Теорема 10.1. [2.3, с. 279]. Пусть вещественные функции
),( yxPP =
,
),( yxQQ =
двух вещественных переменных
y
x
,
определены и непрерывны на гладкой кривой
=
=
)(
)(
:
tyy
txx
L
[
]
βα∈ ,t
.
Тогда существует криволинейный интеграл второго рода
∫
+
L
dyyxQdxyxP ),(),(
и справедлива формула
( ) ( )
( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt
β
α
′ ′
+ = +
∫ ∫
.
(10.8)
Если гладкая кривая
L
задана уравнением в явном виде
)(
xyy
=
,
[
]
bax ,∈ ,
то
в
качестве
параметра
t
можно
взять
переменную
x
и
формула
(10.8)
принимает
вид
( ) ( )
( , ) ( , ) , ( ) , ( ) ( )
b
L a
P x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx
′
+ = +
∫ ∫
. (10.9)
Теорема 10.2.
Если
функция
),(),()(
yxivyxuzf
+=
комплексного
переменного
iyxz
+
=
определена
и
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
вида
(10.1),
то
она
интегрируема
вдоль
этой
кривой
и
справедлива
формула
∫∫∫
γγγ
++−=
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf
),(),(),(),()(
. (10.10)
Нужно
доказать
,
что
существует
конечный
предел
в
правой
части
равенства
(10.6)
и
этот
предел
равен
правой
части
формулы
(10.10).
Положим
,
kkk
i
η+ξ=ζ ,1
nk
≤
≤
тогда
(
)
=ζ
k
f
(
)
(
)
.,,
kkkk
ivu
ηξ+ηξ=
Пусть
,
kkk
iyxz
+= ,0
nk
≤
≤
тогда
=∆
k
z
,
1 kkkk
yixzz
∆+∆=−=
−
где
,
1−
−=∆
kkk
xxx
1−
−=∆
kkk
yyy
(
см
.
рис
. 10.4).
При
каждом
nk
≤≤1
получаем

Страницы