Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)
(
)
, ,
k k k k k k k k
f z u iv x i y
ζ ∆ = ξ η + ξ η ∆ + ∆ =
(
)
(
)
, ,
k k k k k k
u x v y
= ξ η ∆ − ξ η ∆ +
(
)
(
)
, ,
k k k k k k
i v x u y
+ ξ η ∆ + ξ η ∆
. (10.11)
Заметим, что
( ) ( )
22
kkk
yxz ∆+∆=∆
,
nk ≤≤1
. Следовательно,
0 0 →∆⇔→∆
kk
xz
и
0 →∆
k
y
,
и, значит,
0max 0max
11
→∆⇔→∆
≤≤≤≤
k
nk
k
nk
xz
и
0max
1
→∆
≤≤
k
nk
y
. (10.12)
В силу (10.11), (10.12) предел в правой части (10.6) принимает вид
( ) ( )
1
1
max 0
1
max 0
lim , ,
k
k n
k
k n
n
k k k k k k
x
k
y
u x v y
≤ ≤
≤ ≤
∆ →
=
∆ →
∑
( ) ( )
1
, ,
n
k k k k k k
k
i v x u y
=
+ ξ η ∆ + ξ η ∆
∑
. (10.13)
По условию теоремы функция
)(zf
непрерывна на кривой
γ
. Значит, в силу следствия 5.3, её действительная и мнимая части
непрерывны на кривой
γ
. Следовательно, в силу теоремы 10.1 существуют пределы вида
( ) ( )
1
1
max 0
1
max 0
lim , ,
k
k n
k
k n
n
k k k k k k
x
k
y
u x v y
≤ ≤
≤ ≤
∆ →
=
∆ →
ξ η ∆ − ξ η ∆ =
∑
∫
γ
−= dyyxvdxyxu ),(),(
, (10.14)
( ) ( )
1
1
max 0
1
max 0
lim , ,
k
k n
k
k n
n
k k k k k k
x
k
y
v x u y
≤ ≤
≤ ≤
∆ →
=
∆ →
ξ η ∆ + ξ η ∆ =
∑
( , ) ( , )
v x y dx u x y dy
γ
= +
∫
. (10.15)
Из (10.13) – (10.15) вытекает в силу теоремы 5.5 существование конечного предела в правой части (10.6), равного правой
части формулы (10.10). А это означает, по определению, что функция
)(zf
интегрируема вдоль кривой
γ
и справедлива
формула (10.10).
Краткая запись формулы (10.10):
∫∫∫
γγγ
++−= udyvdxivdyudxdzzf )(
. (10.16)
Формально получить формулу (10.16) можно, положив в её левой части
ivuzf +=)(
,
idydxdz +=
:
[
]
=++−=++=
∫∫∫
γγγ
)()())(()( udyvdxivdyudxidydxivudzzf
∫∫
γγ
++−= udyvdxivdyudx
.
Замечание 10.1. При выполнении условий теоремы 10.2 справедлива формула
( )
( ) ( ) ( )
L
f z dz f z t z t dt
β
α
′
=
∫ ∫
. (10.17)
Действительно, используя формулы (10.10), (10.8) и соотношения (10.1), (10.2) получаем
=++−=
∫∫∫
γγγ
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ),(),(),(),()(

Страницы