Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 1
2 4 4 3 2 3 4
0 0
3 3 2 12 4 2 3 4 15
x x x x x dx x x x x dx
= − + − − = + − − =
∫ ∫
(
)
2 3
1
0
5432
−=−−+= xxxx
;
( )
(
)
2 2
2
6 2 3 3 2
I xy y dx x y x dy
γ
= + + − + =
∫
( ) ( )
1
2
2 2 2 2
0
6 2 3 3 2 2
x x x x x x x dx
∫
( )
1 1
3 2 3 5 2 2 3 5
0 0
6 2 6 6 4 6 12 6
x x x x x dx x x x dx
= + + − + = + − =
∫ ∫
(
)
4 32
1
0
643
=−+= xxx
.
Получили
2
1
−=I
,
4
2
=I
. В силу (10.18)
21
iIII +=
, т.е.
iI 42
+
−
=
.
Справедливы следующие свойства интегралов от функций комплексного переменного (их доказательство аналогично
доказательству соответствующих свойств для определённых интегралов от функций вещественной переменной [2.8, с. 344]).
10.1. Если функции
)(
1
zf
,
)(
2
zf
непрерывны на гладкой кривой
γ
, то
[ ]
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
f z f z dz f z dz f z dz
γ γ γ
+ = +
∫ ∫ ∫
, (10.19)
[ ]
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
f z f z dz f z dz f z dz
γ γ γ
− = −
∫ ∫ ∫
. (10.20)
10.2. Если функция
)(zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
,
то
для
любой
константы
Χ
∈
c
∫
γ
с f
∫
γ
= dzzfcdzz )()(
. (10.21)
10.3.
Если
функции
)(
1
zf
,
)(
2
zf
непрерывны
на
гладкой
кривой
γ
,
то
для
любых
Χ∈
21
, cc
[ ]
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
c f z c f z dz c f z dz c f z dz
γ γ γ
+ = +
∫ ∫ ∫
. (10.22)
10.4.
Если
функции
)( ,..., )( ),(
21
zfzfzf
n
непрерывны
на
гладкой
кривой
γ
,
то
для
любых
Χ∈
n
ccc ..., , ,
21
[ ]
1 1 2 2
( ) ( ) ... ( )
n n
c f z c f z c f z dz
γ
+ + + =
∫
∫∫∫
γγγ
+++= dzzfcdzzfcdzzfc
nn
)(...)()(
2211
(10.23)
или
в
более
краткой
записи
1 1
( ) ( )
n n
i i i i
i i
c f z dz c f z dz
= =
γ γ
=
∑ ∑
∫ ∫
.
10.5.
Если
функция
)(
zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
,
то
∫∫
γγ
−=
s
dzzfdzzf )()(
, (10.24)
где
γ
–
кривая
вида
(10.1)
с
направлением
обхода
от
точки
)(
0
α= zz
к
точке
;)(
*
β= zz
γ
s
–
кривая
вида
(10.1)
с
направлением
обхода
от
точки
)(
*
β= zz
к
точке
)(
0
α= zz
.
10.6.
Для
гладкой
кривой
γ
справедлива
формула
0*
zzdz −=
∫
γ
, (10.25)
где
0
z
,
*
z
–
соответственно
начальная
и
конечная
точки
кривой
γ
.
10.7.
Если
функция
)(
zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
и
кривая
γ
разбита
на
две
части
1
γ
,
2
γ
так
,
что
конец
1
γ
совпадает
с
началом
2
γ
,
то
∫∫∫
γγγ
+=
21
)()()( dzzfdzzfdzzf
. (10.26)

Страницы