Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

≤
n
S
∑
=
n
k
k
lM
1
,
или в силу того, что
γ
=
=
∑
ll
n
k
k
1
,
≤
n
S
M l
γ
. (10.35)
Переходя в неравенстве (10.35) к пределу при
0max
1
→
≤≤
k
nk
l
, получаем оценку (10.34).
Пусть функция
),(),()(
yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
+
=
непрерывна на гладкой кривой
γ
. Тогда в
силу замечания 5.10 вещественная функция (10.28) двух вещественных переменных
y
x
,
непрерывна на кривой
γ
. Заметим,
что гладкая кривая
γ
является замкнутым ограниченным множеством. Следовательно, по второй теореме Вейерштрасса для
функций двух переменных [2.8, с. 496]
z
f z
∈γ
∃
.
10.11. Если функция
)(zf
непрерывна
на
гладкой
кривой
γ
,
то
( ) max ( )
z
f z dz f z l
γ
∈γ
γ
≤ ⋅
∫
. (10.36)
Заметим
,
что
оценка
(10.36)
является
частным
случаем
оценки
(10.34).
Замечание 10.3. Если
функция
)(zfw =
определена
и
непрерывна
на
кусочно
-
гладкой
кривой
U
m
i
i
1
=
γ=γ
,
то
интеграл
функции
)(zf
вдоль
кривой
γ
можно
определить
формулой
∫∫∫∫
γγγγ
+++=
m
dzzfdzzfdzzfdzzf )(...)()()(
21
или
в
краткой
записи
∑
∫∫
=
γγ
=
m
i
i
dzzfdzzf
1
)()(
.
Замечание 10.4.
Свойства
10.1 – 10.11
интегралов
функций
комплексного
переменного
сохраняют
силу
также
в
случае
,
когда
в
качестве
пути
интегрирования
выступает
кусочно
-
гладкая
кривая
,
а
подынтегральная
функция
непрерывна
на
этой
кривой
.
Пусть
функция
)(zfw =
непрерывна
на
гладком
или
кусочно
-
гладком
положительно
ориентированном
замкнутом
простом
контуре
γ
.
Тогда
для
интеграла
функции
)(zf
вдоль
контура
γ
используют
обозначение
( )
f z dz
γ
∫
(10.37)
а
для
интеграла
функции
)(zf
вдоль
отрицательно
ориентированного
замкнутого
простого
контура
γ
s
–
обозначение
( )
f z dz
γ
∫
. (10.38)
Интегралы
вида
(10.37), (10.38)
называют
контурными интегралами
.
11. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
Формула Грина; интегральная теорема Коши для односвязной области; независимость интеграла аналитической
функции от пути интегрирования; теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом интегрирования;
формула Ньютона-Лейбница; формула интегрирования по частям; интегральная теорема Коши для многосвязной области.
При
доказательстве
интегральной
теоремы
Коши
для
односвязной
области
будет
использована
формула
Грина
[2.3,
с
.
288],
позволяющая
выразить
криволинейный
интеграл
второго
рода
вдоль
замкнутой
простой
кривой
через
двойной
интеграл
по
области
,
ограниченной
этой
кривой
:
пусть
вещественные
функции
),( yxP
и
),( yxQ
вещественных
переменных
y
x
,
определены
и
непрерывны
вместе
со
своими
частными
производными
первого
порядка
в
односвязной
области
D
и
на
её
гладкой
или
кусочно
-
гладкой
границе
D
Г
;
тогда
справедлива
формула
( ) ( )
(
)
(
)
, ,
, ,
D
Г
D
Q x y P x y
P x y dx Q x y dy dxdy
x y
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
∫ ∫∫
. (11.1)
Докажем
интегральную теорему Коши для односвязной области.

Страницы