Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
0
D
Г
f z dz
=
∫
.
Замечание 11.1. Условие а′) означает, что функция
)(zf
аналитична в некоторой области
*
D
, включающей в себя
D
:
DD ⊃
*
.
Замечание 11.2. Теорема 11.1 (теорема 11.1′) сохраняют силу без условия б) (условия б′), однако доказательство
теоремы 11.1 (теоремы 11.1′), не использующее условие б) (условие б′), существенно усложняется [1.2, с. 145].
Следствие 11.1. Если функция
)(
zf аналитична в односвязной области
D
, то для произвольных точек
Dzz
∈
21
,
и
любых простых гладких или кусочно-гладких кривых
D
⊂γγ
21
,
, соединяющих точки
1
z
и
2
z
, выполняется равенство
∫∫
γγ
=
21
)()( dzzfdzzf
. (11.7)
Действительно, пусть
Dzz
∈
21
,
;
21
,
γγ – простые гладкие или кусочно-гладкие кривые, соединяющие точки
1
z
и
2
z
и
расположенные в области
D
(рис. 11.2).
Рис. 11.2
Рассмотрим замкнутый простой контур
21
γ∪γ=γ
s
. Контур
γ
является гладким или кусочно-гладким как объединение двух
гладких или кусочно-гладких кривых.
В силу теоремы 11.1
( )
0
f z dz
γ
=
∫
. (11.8)
В силу (10.26)
( ) ( ) ( )
1 2
f z dz f z dz f z dz
γ γ γ
= +
∫ ∫ ∫
s
. (11.9)
В силу (10.24)
∫∫
γγ
−=
22
)()( dzzfdzzf
s
. (11.10)
В силу (11.8) – (11.10)
0)()(
21
=−
∫∫
γγ
dzzfdzzf
,
откуда следует равенство (11.7).
Таким образом, если функция
)(zf
аналитична в односвязной области
D
, то для любой простой гладкой или кусочно-
гладкой кривой
D
⊂
γ
, соединяющей две данные точки
Dzz ∈
21
,
, выполняется соотношение
const)( −≡
∫
γ
cdzzf
, (11.11)
т.е. такой интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек пути
интегрирования. Следовательно, такой интеграл можно обозначить как
∫
2
1
)(
z
z
dzzf
, (11.12)
при этом
1
z
и
2
z
называются пределами интегрирования (соответственно, нижним и верхним).

Страницы