ВУЗ:
Составители:
Таким образом, кусочно-гладкая кривая – это непрерывная кривая, которую можно представить в виде объединения
конечного числа гладких кривых вида (10.3):
U
m
i
i
1=
γ=γ
(рис. 10.3).
Рис. 10.3
Пусть функция
)(zfw =
определена и непрерывна на гладкой кривой
γ
вида (10.1). Кривую
γ
будем рассматривать
как ориентированную кривую с направлением обхода от точки
)(
0
α= zz
к точке
)(
*
β= zz
. Разобьём отрезок
[
]
βα,
произвольной системой точек
β=<<<<<<<<=α
−− nnkk
ttttttt
11210
......
на n частей. Такому разбиению отвечает разбиение кривой
γ
на n частей (n дуг кривой
γ
) вида
)()()(: tiytxtzz
k
+==γ
,
[
]
1
, , 1
k k
t t t k n
−
∈ ≤ ≤
.
Положим
(
)
kk
tzz =
,
nk ≤≤0
(заметим, что
(
)
(
)
*
zztzz
nn
=β==
). Таким образом,
1−k
z
и
k
z
– соответственно начальная и
конечная точки дуги
k
γ
(
nk ≤≤1
). Пусть
1−
−=∆
kkk
zzz
,
nk ≤≤1
. Заметим, что
k
z∆
изображается вектором, идущим из
точки
1−k
z
в точку
k
z
, а
k
z∆
– длина этого вектора, т.е. длина хорды, стягивающей дугу
k
γ
,
nk ≤≤1
(рис. 10.4).
Рис. 10.4
Выберем на каждой части разбиения
[
]
1
,
k k
t t
−
отрезка
[
]
βα,
произвольным образом по одной точке
k
τ
; такому выбору
отвечает выбор по одной точке
(
)
kk
z τ=ζ
на каждой дуге
k
γ
,
nk ≤≤1
(рис. 10.4). Составим сумму вида
( )
1
n
n k k
k
S f z
=
= ζ ∆
∑
. (10.4)
Выражение (10.4) называется интегральной суммой функции
)(zf
, соответствующей данному разбиению кривой
γ
на части
k
γ
и данному выбору точек
k
ζ
(
nk ≤≤1
). Обозначим через
k
l
длину дуги
k
γ
(
nk ≤≤1
). Положим
k
nk
ll
≤≤
=
1
max
, т.е.
l
–
максимальная из длин дуг разбиения
k
γ
.
Определение 10.3. Интегралом функции
)(zf
вдоль кривой
γ
(по кривой
γ
) называется конечный предел
интегральной суммы
n
S
при стремлении
l
к нулю при условии, что такой предел существует и не зависит от способа
разбиения кривой
γ
на части
k
γ
и выбора точек
k
ζ
(
nk ≤≤1
).
Обозначение:
∫
γ
dzzf )(
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
