Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Подберём значение постоянной C таким образом, чтобы выполнялось условие
12)( −= iif
. Имеем
10
⋅
+
=
=
iiz
, т.е.
0
=
x
,
1
=
y
,
следовательно
,
(
)
(
)
(
)
CiCiif ++−=+⋅+⋅⋅+⋅+−= 21121020210)(
22
.
По
условию
(
)
1221 −=++− iCi
,
откуда
0
=
C
.
Подставляя
0
=
C
в
формулу
(9.20),
получаем
(
)
(
)
yxyixyxzf 222)(
22
+++−=
. (9.21)
Функцию
(9.21)
можно
записать
как
функцию
аргумента
.
z
Действительно
,
подставив
в
(9.21)
вместо
y
x
,
их
выражения
из
формул
2
zz
x
+
=
,
i
zz
y
2
−
=
и
приведя
подобные
члены
,
получаем
zzzf 2)(
2
+=
.
10. ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Гладкая
кривая
;
кусочно
-
гладкая
кривая
;
интеграл
функции
комплексного
переменного
вдоль
кривой
;
достаточное
условие
существования
интеграла
,
формула
для
его
вычисления
через
криволинейные
интегралы
второго
рода
;
свойства
интегралов
;
оценки
сверху
модуля
интеграла
.
При
построении
интеграла
от
функции
)(zfw =
комплексного
переменного
iyxz
+
=
вдоль
кривой
γ
будет
показано
(
см
.
теорему
10.2
и
замечание
10.3),
что
такой
интеграл
существует
при
условии
,
что
γ
является
гладкой
или
кусочно
-
гладкой
кривой
и
функция
)(zf
непрерывна
на
γ
.
Введём
соответствующие
определения
.
Определение 10.1. Непрерывная
кривая
: ( ) ( ) ( )
γ = = +
,
[
]
βα∈ ,t
, (10.1)
называется
гладкой
кривой
,
если
функции
)(tx
,
)(ty
непрерывно
дифференцируемы
на
отрезке
[
]
βα,
и
0)()()( ≠
′
+
′
=
′
tyitxtz
,
[
]
βα∈∀ ,t
, (10.2)
причём
если
кривая
γ
замкнута
,
то
)0()0( −β
′
=+α
′
zz
.
Геометрически
гладкая
кривая
(10.1)
характеризуется
тем
,
что
в
каждой
точке
(
)
)(),()( tytxtM =
,
[
]
βα∈ ,t
,
она
имеет
касательную
)(tK
с
направляющим
вектором
{
}
)(),()( tytxta
′
′
=
r
[2.7,
с
.251]
и
,
в
силу
непрерывности
производных
),(tx
′
)(ty
′
на
отрезке
[
]
βα,
,
при
перемещении
точки
касания
)(tM
по
кривой
γ
угол
наклона
)(tϕ
касательной
)(tK
к
действительной
оси
изменяется
непрерывно
(
рис
. 10.1, 10.2).
Рис. 10.1 Рис. 10.2
Определение 10.2. Непрерывная
кривая
(10.1)
называется
кусочно
-
гладкой
кривой
,
если
|......
11210
β=<<<<<<<<=α∃
−− mmii
ttttttt
каждая
из
кривых
)()()(: tiytxtzz
i
+==γ
,
[
]
1
, , 1
i i
t t t i m
−
∈ ≤ ≤
, (10.3)
является
гладкой
кривой
.

Страницы