Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0)0(02
)0,0()0,0(
)0( =−⋅+⋅=
∂
∂
+
∂
∂
=
′
i
x
v
i
x
u
w
.
Функция (9.4) не имеет точек, в которых она является аналитической, т.е. не имеет правильных точек.
Теорема 9.6. Действительная и мнимая части аналитической в области
D
функции
=
)(zf
),(),( yxivyxu +
комплексного
переменного
iyxz
+
=
являются
в
этой
области
решениями
уравнения
(
)
(
)
0
,,
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
yxT
x
yxT
. (9.5)
В
силу
теоремы
9.3
в
области
D
выполняются
условия
Коши
-
Римана
(9.1), (9.2).
Ниже
будет
доказано
(
см
.
теорему
12.4),
что
аналитическая
в
области
функция
бесконечно
дифференцируема
в
этой
области
,
т
.
е
.
существует
производная
любого
порядка
аналитической
в
области
функции
и
эта
производная
аналитична
в
данной
области
.
В
частности
,
в
области
D
существует
[ ]
( ) ( )
f z f z
′
′′ ′
=
,
следовательно
,
в
силу
формул
(8.32) – (8.35)
в
области
D
существуют
непрерывные
частные
производные
второго
порядка
функций
),( yxu
,
),( yxv
.
Кроме
того
,
в
силу
достаточного
признака
равенства
смешанных
производных
[2.9,
с
.99],
в
области
D
выполняются
соотношения
(
)
(
)
xy
yxu
yx
yxu
∂∂
∂
=
∂∂
∂ ,,
22
, (9.6)
(
)
(
)
xy
yxv
yx
yxv
∂∂
∂
=
∂∂
∂ ,,
22
. (9.7)
Дифференцируя
равенство
(9.1)
по
переменной
x
,
а
равенство
(9.2)
по
переменной
y
,
получаем
(
)
(
)
xy
yxv
x
yxu
∂∂
∂
=
∂
∂ ,,
2
2
2
, (9.8)
(
)
(
)
yx
yxv
y
yxu
∂∂
∂
−=
∂
∂ ,,
2
2
2
. (9.9)
Складывая
равенства
(9.8), (9.9)
и
используя
(9.7),
имеем
(
)
(
)
0
,,
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
yxu
x
yxu
,
т
.
е
.
функция
),( yxu
является
решением
уравнения
(9.5).
Дифференцируя
равенство
(9.1)
по
переменной
y
,
а
равенство
(9.2)
по
переменной
x
,
получаем
(
)
(
)
2
22
,,
y
yxv
yx
yxu
∂
∂
=
∂∂
∂
, (9.10)
(
)
(
)
2
22
,,
x
yxv
xy
yxu
∂
∂
−=
∂∂
∂
. (9.11)
Вычитая
из
равенства
(9.10)
равенство
(9.11)
и
используя
(9.6),
имеем
(
)
(
)
0
,,
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
yxv
x
yxv
,
т
.
е
.
функция
),( yxv
является
решением
уравнения
(9.5).
Уравнение
(9.5)
называется
уравнением Лапласа
.
Вещественная
функция
),( yxhh =
двух
вещественных
переменных
y
x
,
имеющая
непрерывные
частные
производные
второго
порядка
и
являющаяся
решением
уравнения
Лапласа
в
некоторой
области
,
называется
гармонической функцией
в
этой
области
.
Две
гармонические
функции
в
некоторой
области
,
связанные
между
собой
в
этой
области
условиями
Коши
-
Римана
,
называются
сопряжёнными гармоническими функциями
в
данной
области
.
Таким
образом
,
в
силу
теорем
9.3, 9.6
действительная
и
мнимая
части
аналитической
в
данной
области
функции
являются
сопряженными
гармоническими
функциями
в
этой
области
.
В
силу
теоремы
9.3
верно
обратное
утверждение
:
если
),( yxu
,
),( yxv
–
сопряжённые
гармонические
функции
в
данной
области
,
то
функция
=
)(
zf
=
),(),( yxivyxu +

Страницы