Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

окрестностью
(
)
zO
1
δ
(
)(
11
zδ=δ
), в которой функция
)(zf
дифференцируема и, следовательно, аналитична в точке
z
(рис.
9.1).
Рис. 9.1
В силу замечания 9.1 вместо выражения “функция
)(zf
аналитична в точке
0
z
” можно говорить “ функция
)(zf
аналитична в некоторой
δ
-окрестности точки
0
z
”.
Используя следствие 8.1, получаем необходимое условие аналитичности функции в точке.
Теорема 9.1. Если функция
)(zfw =
аналитична в точке
0
z
, то она непрерывна в некоторой δ-окрестности этой
точки.
Используя теорему 8.3, получаем признак аналитичности функции в точке.
Теорема 9.2. Аналитичность функции
),(),()( yxivyxuzf
+
=
комплексного
переменного
iyxz
+
=
в
точке
000
iyxz +=
равносильна
дифференцируемости
её
действительной
и
мнимой
частей
в
некоторой
δ-
окрестности
точки
(
)
00
, yx
и
выполнению
в
этой
δ-
окрестности
условий
Коши
-
Римана
(
)
(
)
y
yxv
x
yxu
∂
∂
=
∂
∂ ,,
, (9.1)
(
)
(
)
x
yxv
y
yxu
∂
∂
−=
∂
∂ ,,
. (9.2)
Замечание 9.2.
Аналитичность
функции
на
открытом
множестве
(
в
частности
,
в
области
)
равносильна
дифференцируемости
этой
функции
на
данном
множестве
.
Замечание 9.3.
Если
функция
)(zf
аналитична
на
открытом
множестве
,
то
она
непрерывна
на
этом
множестве
.
Утверждение
замечания
9.3
следует
из
замечания
9.2
и
следствия
8.1.
Используя
замечание
9.2
и
следствие
8.3,
получаем
признак
аналитичности
функции
на
открытом
множестве
(
в
частности
,
в
области
).
Теорема 9.3.
Аналитичность
функции
),(),()( yxivyxuzf
+
=
комплексного
переменного
,iyxz
+
=
,Dz
∈
на
открытом
множестве
DD ⊆
1
равносильна
дифференцируемости
её
действительной
и
мнимой
частей
на
множестве
1
D
и
выполнению
на
этом
множестве
условий
Коши
-
Римана
(9.1), (9.2).
Используя
замечание
9.2
и
теорему
8.5,
получаем
достаточный
признак
аналитичности
функции
на
открытом
множестве
(
в
частности
,
в
области
).
Теорема 9.4.
Если
действительная
и
мнимая
части
функции
=
)(zf
),(),( yxivyxu +
комплексного
переменного
,iyxz
+
=
,Dz
∈
имеют
на
открытом
множестве
DD ⊆
1
непрерывные
частные
производные
первого
порядка
и
на
этом
множестве
выполняются
условия
Коши
-
Римана
(9.1), (9.2),
то
функция
)(zf
аналитична
на
множестве
1
D
.
Используя
замечание
9.2
и
теорему
8.6,
получаем
следующее
утверждение
,
называемое
основной
теоремой
об
аналитических
функциях
.
Теорема 9.5.
Сумма
,
разность
,
произведение
и
частное
двух
аналитических
на
открытом
множестве
(
в
частности
,
в
области
)
функций
являются
аналитическими
на
этом
множестве
(
в
этой
области
)
функциями
,
при
этом
в
случае
частного
предполагается
,
что
знаменатель
отличен
от
нуля
на
данном
множестве
.
В
силу
замечания
9.2
и
следствия
8.7
справедливо
.
Замечание 9.4.
Линейная
комбинация
любого
конечного
числа
аналитических
на
открытом
множестве
функций
является
аналитической
на
этом
множестве
функцией
.
Точки
комплексной
плоскости
,
Χ
в
которых
однозначная
функция
)(zfw =
является
аналитической
,
называются
правильными
точками
этой
функции
,
а
точки
,
в
которых
функция
)(zf
не
является
аналитической
, –
особыми
точками
этой
функции
.
Особая
точка
0
z
функции
)(zf
называется
изолированной
особой
точкой
этой
функции
,
если
существует
δ-
окрестность
точки
0
z
,
в
которой
нет
других
особых
точек
функции
)(zf
,
кроме
самой
точки
0
z
,
т
.
е
.
если

Страницы