Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
|
0
zO
δ
∃
функция
)(zf
аналитична в
(
)
0
zO
δ
&
.
Среди аналитических функций выделяют класс целых функций.
Определение 9.3. Функция
),(zfw
=
,
Χ
ΧΧ
Χ
∈
z
называется
целой
,
если
она
аналитична
на
всей
комплексной
плоскости
Χ
.
Замечание 9.5.
Если
говорят
,
что
функция
)(zf
аналитична
в
области
D
и
на
её
границе
D
Г
,
т
.
е
.
аналитична
на
замкнутом
множестве
D
ГDD ∪=
(
в
замкнутой
области
D
),
то
это
означает
,
что
функция
)(
zf
аналитична
в
некоторой
области
DD ⊃
*
.
Пример 9.1.
Функции
z
e
,
z
sin
,
z
cos
дифференцируемы
на
открытом
множестве
Χ
(
см
.
примеры
8.3, 8.4),
следовательно
,
в
силу
замечания
9.2
эти
функции
аналитичны
на
Χ
,
т
.
е
.
являются
целыми
функциями
.
Эти
функции
не
имеют
особых
точек
.
Пример 9.2.
Главная
ветвь
zw
ln
=
логарифмической
функции
z
дифференцируема
на
открытом
множестве
{
}
0\
Χ=D
(
см
.
пример
8.5),
следовательно
,
в
силу
замечания
9.2
аналитична
на
этом
множестве
.
Точка
0
0
=z
является
изолированной
особой
точкой
функции
zw
ln
=
.
Пример 9.3.
Целая
рациональная
функция
nn
nn
n
azazazazP
++++=
−
−
1
1
10
...)(
дифференцируема
на
Χ
(
см
.
пример
8.6),
следовательно
,
аналитична
на
Χ
,
т
.
е
.
является
целой
функцией
.
Пример 9.4.
Рассмотрим
дробно
-
рациональную
функцию
)(
)(
zQ
zP
w
m
n
=
, (9.3)
её
область
определения
имеет
вид
(
)
)(\
zQND
m
Χ=
,
где
(
)
=)(
zQN
m
{
}
0)(| =∈=
zQz
m
Χ
–
множество
нулей
функции
)(
zQ
m
(
множество
корней
многочлена
)(
zQ
m
).
Множество
(
)
)(
zQN
m
состоит
из
конечного
числа
точек
,
ибо
известно
[2.10,
с
. 157],
что
уравнение
0)( =
zQ
m
имеет
в
поле
комплексных
чисел
m
корней
,
если
каждый
из
корней
считать
столько
раз
,
какова
его
кратность
.
Следовательно
,
множество
(
)
)(\
zQND
m
Χ=
является
областью
.
В
силу
теоремы
9.5
функция
(9.3)
аналитична
в
D
как
частное
двух
аналитических
в
D
функций
.
Функция
(9.3)
имеет
конечное
множество
изолированных
особых
точек
,
совпадающее
со
множеством
(
)
)(
zQN
m
.
Пример 9.5.
Функция
z
z
z
cos
sin
tg =
аналитична
в
области
(
)
zND cos\Χ=
,
где
( )
∈π+
π
= ΖkkzN ,
2
cos
(
см
.
замечание
6.3)
как
отношение
двух
аналитических
в
этой
области
функций
.
Функция
z
tg
имеет
бесконечное
множество
изолированных
особых
точек
,
совпадающее
со
множеством
(
)
zN cos
.
Пример 9.6.
Функция
z
z
z
sin
cos
ctg =
аналитична
в
области
(
)
zND sin\Χ=
,
где
(
)
{
}
Ζ∈π= kkzN ,sin
(
см
.
замечание
6.4)
как
отношение
двух
аналитических
в
этой
области
функций
.
Функция
z
ctg
имеет
бесконечное
множество
изолированных
особых
точек
,
совпадающее
со
множеством
(
)
zN sin
.
Пример 9.7.
Исследуем
на
аналитичность
функцию
zzw Re
=
,
Χ
ΧΧ
Χ
∈
z
. (9.4)
Найдём
действительную
и
мнимую
части
этой
функции
.
Пусть
iyxz
+
=
,
),(),( yxivyxuw +=
,
тогда
ixyxxiyxyxivyxu −=−=+
2
)(),(),(
,
откуда
2
),( xyxu =
,
xyyxv −=),(
.
Функции
),( yxu
,
),( yxv
имеют
на
множестве
2
Ρ
непрерывные
частные
производные
(
)
x
x
yxu
2
,
=
∂
∂
,
(
)
0
,
=
∂
∂
y
yxu
,
(
)
y
x
yxv
−=
∂
∂ ,
,
(
)
x
y
yxv
−=
∂
∂ ,
,
значит
,
в
силу
следствия
8.5,
функции
),( yxu
,
),( yxv
дифференцируемы
на
2
Ρ
.
Выясним
,
на
каком
множестве
выполняются
условия
Коши
-
Римана
(9.1), (9.2).
В
нашем
случае
условия
(9.1), (9.2)
принимают
вид
=
−=
,0
,2
y
xx
откуда
0
=
x
,
0
=
y
.
Итак
,
условия
Коши
-
Римана
выполняются
в
единственной
точке
(
)
.0,0
В
силу
следствия
8.3
функция
(9.4)
дифференцируема
в
единственной
точке
00
0
⋅+= iz
и
,
согласно
формуле
(8.32),

Страницы