Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 8.7. Сложная функция
zw
3
cos=
,
Χ
∈
z
, дифференцируема на
Χ
и
zzw sin cos3
2
−=
′
.
Действительно, эту функцию можно записать в виде
3
hw =
,
zh cos=
. (8.49)
Каждая из функций (8.49) дифференцируема на
Χ
и
2
3hw
h
=
′
,
zh
z
sin−=
′
(см. примеры 8.2, 8.4). Тогда в силу следствия 8.8
сложная функция
zw
3
cos=
дифференцируема на
Χ
и по формуле (8.48)
(
)
zzzzw sin cos3sincos3
22
−=−=
′
.
Замечание 8.3. Теорема 8.7 и следствие 8.8 сохраняют силу для сложной функции, являющейся суперпозицией любого
конечного числа функций.
Например, если
(
)
(
)
)(zhqww =
и соответствующие функции
)(zhh =
,
)(hqq =
,
)(qww =
дифференцируемы на
соответствующих множествах, то сложная функция
(
)
(
)
)(zhqww =
дифференцируема на соответствующем множестве и
справедлива формула
zhqz
hqww
′
′
′
=
′
.
Укажем правило дифференцирования обратной функции.
Теорема 8.8. Пусть функция
)(zfw =
однолистна на множестве
D
и обратная ей функция
)(
1
wfz
−
=
непрерывна на
множестве
)(DfG =
. Тогда, если функция
)(zf
дифференцируема в точке
Dz ∈
0
и
0)(
0
≠
′
zf
, то обратная функция
)(
1
wfz
−
=
дифференцируема в точке
(
)
00
zfw =
и справедлива формула
( )
( )
1
0
0
1
f w
−
′
=
′
.
Доказательство теоремы 8.8 аналогично доказательству соответствующего утверждения для обратной функции
вещественной переменной [2.7, с. 48], при этом существование обратной функции следует из замечания 5.1.
Следствие 8.9. Пусть функция
)(zfw =
однолистна на множестве
D
и обратная ей функция
)(
1
wfz
−
=
непрерывна
на множестве
)(DfG =
. Тогда, если функция
)(zf
дифференцируема на множестве
D
и
0)( ≠
′
zf
для
D
z
∈
∀
, то обратная
функция
)(
1
wfz
−
=
дифференцируема на множестве
G
и
( )
( )
1
1
f w
f z
−
′
=
′
. (8.50)
9. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Аналитичность функции в точке; необходимое условие аналитичности функции в точке; признак аналитичности
функции в точке; аналитичность функции на открытом множестве; признак аналитичности функции на открытом
множестве; достаточный признак аналитичности функции на открытом множестве; основная теорема об
аналитических функциях; правильные и особые точки функции; изолированные особые точки функции; понятие целой
функции; связь аналитических функций с гармоническими функциями.
Одним из фундаментальных понятий теории функций комплексного переменного является понятие аналитической
функции.
Пусть дана однозначная функция
)(zfw =
,
D
z
∈
, и
0
z
– внутренняя точка множества
D
.
Определение 9.1. Функция
)(zf
называется аналитической (голоморфной или регулярной) в точке
0
z
, если она
дифференцируема в некоторой
δ
-окрестности этой точки (в том числе и в самой точке
0
z
).
Из определения 9.1 видно, что требование аналитичности функции в точке является более жёстким, чем требование
дифференцируемости функции в точке. Таким образом, если функция
)(zf
не аналитична в точке
0
z
, то это вовсе не
означает, что она не дифференцируема в этой точке, ибо нарушение аналитичности функции
)(zf
в точке
0
z
означает лишь
следующее:
(
)
(
)
0 * * 0
( ) |
O z z z O z
δ δ
∀ ∃ = δ ∈
в точке
*
z
функция
)(zf
не дифференцируема.
Определение 9.2. Функция
)(zfw =
,
D
z
∈
, называется анали-тической (голоморфной или регулярной) на открытом
множестве
DD ⊆
1
, если она аналитична в каждой точке этого множества.
Заметим, что в определении 9.2 равенство
DD =
1
допустимо лишь в том случае, когда
D
– открытое множество, в
частности, если
D
– область.
Замечание 9.1. Из аналитичности функции в точке следует её аналитичность в некоторой окрестности этой точки.
Действительно, пусть функция
)(zf
аналитична в точке
0
z
, т.е. по определению, дифференцируема в некоторой
(
)
0
zO
δ
. Множество
(
)
0
zO
δ
является открытым, следовательно, каждая точка
(
)
0
zOz
δ
∈
входит в
(
)
0
zO
δ
с некоторой своей

Страницы