Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 8.2. Если функция
)(zf
,
D
z
∈
, дифференцируема на множестве
DD ⊆
1
, то для любого
Χ
∈
c
функция
( )
c f z
дифференцируема на множестве
1
D
и справедлива формула
[ ]
( ) ( )
c f z c f z
′
=
. (8.46)
Утверждение замечания 8.2 следует из (8.43), (8.45).
Следствие 8.6. Сумма любого конечного числа функций
1 2
( ), ( ), ... , ( )
s
f z f z f z
, дифференцируемых на множестве
Χ
⊆
D
, есть функция, дифференцируемая на множестве
D
и
∑∑
==
′
=
′
s
i
i
s
i
i
zfzf
11
)()(
.
Утверждение следствия 8.6 получается из теоремы 8.6 методом математической индукции.
Следствие 8.7. Если функции
1 2
( ), ( ), ... , ( )
s
f z f z f z
дифференцируемы на множестве
,
Χ
⊆
D
то их линейная
комбинация
)(...)()(
2211
zfzfzf
ss
λ++λ+λ
с любыми коэффициентами
1 2
, , ... ,
s
λ λ λ ∈
C
дифференцируема на
D
и
∑∑
==
′
λ=
′
λ
s
i
ii
s
i
ii
zfzf
11
)()(
.
Следствие 8.7 вытекает из следствия 8.6 и замечания 8.2.
Пример 8.6. В силу дифференцируемости целой степенной функции (см. примеры 8.1, 8.2) и следствия 8.7 целая
рациональная функция
nnn
nn
n
azazazazazP +++++=
−−
−
1
2
2
1
10
...)(
,
Χ
∈
z
,
дифференцируема на
Χ
и
12
2
1
1
0
2...)1()(
−−
−−
+++−+=
′
nn
nn
n
azazanznazP
. (8.47)
Укажем правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 8.7. Пусть для сложной функции
(
)
)()( zfzF ϕ=
(
)(hfw =
,
)(zh ϕ=
) выполняются следующие условия:
а) функция
)(zh ϕ=
дифференцируема в точке
0
z
, т.е.
(
)
( )
0
0
0
lim z
z
zh
z
ϕ
′
=
∆
∆
∃
→∆
;
б) функция
)(hfw =
дифференцируема в соответствующей точке
)(
00
zh ϕ=
, т.е.
(
)
( )
0
0
0
lim
h
w h
f h
h
∆ →
∆
′
∃ =
∆
.
Тогда сложная функция
(
)
)()( zfzF ϕ=
дифференцируема в точке
0
z
и справедлива формула
(
)
(
)
(
)
0 0 0
F z f h z
′ ′ ′
= ϕ
.
Доказательство теоремы 8.7 аналогично доказательству соответствующего утверждения для сложной функции
вещественной переменной [2.7, с. 42], при этом используются теоремы 5.3, 5.6, 8.2.
Следствие 8.8. Пусть для сложной функции
(
)
)()( zfzF ϕ=
выполняются следующие условия:
1) функция
)(zh ϕ=
дифференцируема на множестве
)(
1
ϕ⊆ DD
;
2) функция
)(hfw =
дифференцируема на множестве
(
)
11
Dϕ=Ω
(
1
Ω
– образ множества
1
D
при отображении
ϕ
).
Тогда сложная функция
(
)
)()( zfzF ϕ=
дифференцируема на множестве
1
D
и справедлива формула
(
)
(
)
(
)
F z f h z
′ ′ ′
= ϕ
.
Если сложную функцию записать в виде
(
)
)(zhww =
, то правило дифференцирования сложной функции принимает вид
zhz
hww
′
′
=
′
. (8.48)

Страницы