Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 8.2. Если функция
=)(zf
),(),( yxivyxu +
дифференцируема в точке
000
iyxz +=
, то её производную в
этой точке можно вычислять по любой из следующих формул:
( )
(
)
(
)
x
yxv
i
x
yxu
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
0000
0
,,
,
( )
(
)
(
)
x
yxv
i
y
yxv
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
0000
0
,,
,
( )
(
)
(
)
y
yxu
i
x
yxu
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
′
0000
0
,,
,
( )
(
)
(
)
y
yxu
i
y
yxv
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
′
0000
0
,,
.
Следствие 8.3. Дифференцируемость функции
+
=
),()( yxuzf
,),( yxiv
+
,Dz
∈
на
некотором
множестве
DD ⊆
1
равносильна
дифференцируемости
её
действительной
и
мнимой
частей
на
этом
множестве
и
выполнению
на
этом
множестве
соотношений
(
)
(
)
y
yxv
x
yxu
∂
∂
=
∂
∂ ,,
, (8.30)
(
)
(
)
x
yxv
y
yxu
∂
∂
−=
∂
∂ ,,
. (8.31)
Равенства
(8.30), (8.31)
называются
условиями Коши-Римана
(
или
условиями Даламбера-Эйлера
).
Краткая
запись
этих
условий
:
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
,
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
.
Следствие 8.4.
Если
функция
),,(),()(
yxivyxuzf
+
=
,Dz
∈
дифференцируема
на
множестве
DD ⊆
1
,
то
её
производную
на
этом
множестве
можно
вычислять
по
любой
из
следующих
формул
:
( )
(
)
(
)
x
yxv
i
x
yxu
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
,,
, (8.32)
( )
(
)
(
)
x
yxv
i
y
yxv
zf
∂
∂
+
∂
∂
=
′
,,
, (8.33)
( )
(
)
(
)
y
yxu
i
x
yxu
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
′
,,
, (8.34)
( )
(
)
(
)
y
yxu
i
y
yxv
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
′
,,
. (8.35)
В
силу
теоремы
8.3
и
следствия
8.3
проверка
функции
=)(zf
),(),( yxivyxu +=
,
D
z
∈
,
комплексного
переменного
iyxz
+
=
на
дифференцируемость
в
точке
000
iyxz +=
(
на
данном
множестве
DD ⊆
1
)
сводится
к
проверке
вещественных
функций
),(
yxu
и
),(
yxv
вещественных
переменных
y
x
на
дифференцируемость
в
точке
(
)
00
,
yx
(
на
множестве
1
D
).
В
свою
очередь
,
при
исследовании
функций
),(
yxu
,
),(
yxv
на
дифференцируемость
в
точке
(
)
00
,
yx
используется
достаточный признак дифференцируемости вещественной функции двух вещественных переменных
[2.8,
с
. 503]:
Теорема 8.4.
Если
вещественная
функция
),(
yxhh =
двух
вещественных
переменных
y
x
имеет
в
некоторой
δ
-
окрестности
точки
(
)
00
,
yx
частные
производные
(
)
(
)
y
yxh
x
yxh
∂
∂
∂
∂
,
,
,
и
эти
частные
производные
непрерывны
в
точке
(
)
00
,
yx
,
то
функция
),(
yxh
дифференцируема
в
точке
(
)
00
,
yx
.

Страницы