Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 8.5. Если вещественная функция
),( yxhh =
двух вещественных переменных
y
x
,
имеет на некотором
открытом множестве
2
Ρ⊆D непрерывные частные производные
(
)
x
yxh
∂
∂ ,
,
(
)
y
yxh
∂
∂ ,
, то эта функция дифференцируема на
множестве
D
.
Используя следствия 8.3, 8.5 получаем достаточный признак дифференцируемости функции комплексного переменного
на открытом множестве (в частности, в области).
Теорема 8.5. Если действительная и мнимая части функции
=)(
zf
),(),(
yxivyxu
+
комплексного переменного
iyxz
+
=
,
D
z
∈
, имеют на открытом множестве
DD ⊆
1
непрерывные частные производные первого порядка и на этом
множестве выполняются условия Коши-Римана, то функция
)(
zf
дифференцируема на множестве
1
D
.
Пример 8.3. Функция
z
ezf =)(
,
∈
z
, дифференцируема на
и
( )
z z
e e
′
=
. (8.36)
На самом деле, действительная и мнимая части этой функции имеют вид
yeyxu
x
cos),( =
,
yeyxv
x
sin),( =
(см. (6.24)).
Функции
),( yxu
,
),( yxv
имеют на множестве
2
Ρ
частные производные
(
)
ye
x
yxu
x
cos
,
=
∂
∂
,
(
)
ye
x
yxv
x
sin
,
=
∂
∂
, (8.37)
(
)
ye
y
yxu
x
sin
,
−=
∂
∂
,
(
)
ye
y
yxv
x
cos
,
=
∂
∂
. (8.38)
Частные производные (8.37), (8.38) непрерывны на
, значит, в силу следствия 8.5, функции
),( yxu
,
),( yxv
дифференцируемы на
. Кроме того, в силу (8.37), (8.38) на
выполняются условия Коши-Римана (8.30), (8.31).
Следовательно, в силу следствия 8.3 функция
z
ezf =)(
дифференцируема на множестве
и в силу (8.32), (8.37)
( )
( ) cos sin
z x x z
f z e e y ie y e
′
′
= = + =
.
Пример 8.4. Аналогично показывается, что функции
zsin
,
z
cos
дифференцируемы на
и
( )
zz cossin =
′
, (8.39)
( )
zz sincos −=
′
. (8.40)
Пример 8.5. Главная ветвь
zw ln=
логарифмической функции
z
Ln
дифференцируема на множестве
{
}
0\
Χ=D
и
( )
z
z
1
ln
=
′
[1.4, с. 120].
При дифференцировании функций комплексного переменного применяется следующее утверждение, называемое
основной
теоремой
о
производных
функций
комплексного
переменного.
Теорема 8.6. Пусть функции
)(
zf
и
)(
zg
дифференцируемы на множестве
)()(
gDfDD ∩⊆
. Тогда сумма, разность,
произведение и частное этих функций тоже дифференцируемы на множестве
D
(в случае частного предполагается, что
Dzzg ∈∀≠
,0)(
) и справедливы формулы
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
f z g z f z g z
′
′ ′
+ = +
, (8.41)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
f z g z f z g z
′
′ ′
− = −
, (8.42)
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f z g z f z g z f z g z
′
′ ′
= +
, (8.43)
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f z f z g z f z g z
g z
g z
′
′ ′
−
=
. (8.44)
Доказательство теоремы 8.6 аналогично доказательству соответствующего утверждения для производных
вещественных функций вещественного переменного [2.8, с. 166], при этом используются теоремы 5.6, 8.2.
Замечание 8.1. Если
const)( == czf
,
D
z
∈
∀
, то
0)( =
′
zf
, т.е.
( )
0=
′
c
. (8.45)
Утверждение замечания 8.1 следует из определения производной функции в точке.

Страницы