Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

вещественной функции двух вещественных переменных [2.8, с. 501] существуют частные производные первого порядка
функций
),( yxu
,
),( yxv
в точке
(
)
00
, yx
по обоим аргументам и справедливы равенства
(
)
a
x
yxu
=
∂
∂
00
,
,
(
)
b
y
yxu
−=
∂
∂
00
,
; (8.21)
(
)
b
x
yxv
=
∂
∂
00
,
,
(
)
a
y
yxv
=
∂
∂
00
,
. (8.22)
Из (8.21), (8.22) следуют равенства (8.7), (8.8).
Достаточность. Пусть функции
),( yxu
и
),( yxv
дифференцируемы в точке
(
)
00
, yx
и выполняются условия (8.7),
(8.8). Тогда полные приращения этих функций в точке
(
)
00
, yx
имеют вид
( )
(
)
(
)
( )
ρ+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
1
0000
00
,,
, oy
y
yxu
ix
x
yxu
yxu
, (8.23)
( )
(
)
(
)
( )
ρ+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
2
0000
00
,,
, oy
y
yxv
ix
x
yxv
yxv
, (8.24)
где
( ) ( )
22
yx ∆+∆=ρ
;
(
)
ρ
1
o
,
(
)
ρ
2
o
– б.м.в. высшего порядка по сравнению с
ρ
при
0
→
ρ
,
т
.
е
.
(
)
0lim
1
0
=
ρ
ρ
→ρ
o
,
(
)
0lim
2
0
=
ρ
ρ
→ρ
o
. (8.25)
Используя
условия
(8.7), (8.8),
заменим
в
формуле
(8.23)
(
)
y
yxu
∂
∂
00
,
на
(
)
x
yxv
∂
∂
−
00
,
,
а
в
формуле
(8.24)
(
)
y
yxv
∂
∂
00
,
на
(
)
x
yxu
∂
∂
00
,
.
После
чего
,
учитывая
(8.10),
получаем
( )
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )
=ρ+ρ+∆+∆
∂
∂
+∆+∆
∂
∂
=∆
21
0000
0
,,
iooyix
x
yxv
iyix
x
yxu
zw
(
)
(
)
( ) ( )
ρ+ρ+∆
∂
∂
+
∂
∂
=
21
0000
,,
iooz
x
yxv
i
x
yxu
.
Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
z
ioo
x
yxv
i
x
yxu
z
zw
∆
ρ+ρ
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
∆
21
00000
,,
. (8.26)
Заметим
,
что
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
1 2
0
o io o o
o io
z z
ρ + ρ ρ + ρ
ρ + ρ
≤ = ≤ =
∆ ∆ ρ
(
)
(
)
ρ
ρ
+
ρ
ρ
=
21
oo
0
ρ→
→ , (8.27)
ибо
в
силу
(5.11), (8.25)
(
)
0lim
1
0
=
ρ
ρ
→ρ
o
,
(
)
0lim
2
0
=
ρ
ρ
→ρ
o
.
Учитывая
,
что
( ) ( )
0 0
22
→∆⇔→∆=∆+∆=ρ zzyx , (8.28)
получаем
из
(8.27)
(
)
(
)
1 2
0
lim 0
z
o io
z
∆ →
ρ + ρ
=
∆
,
откуда
в
силу
(5.11)
(
)
(
)
0lim
21
0
=
∆
ρ+ρ
→∆
z
ioo
z
. (8.29)
Из
(8.26), (8.29)
следует
,
что
( )
(
)
0
0
0
lim
z
w z
f z
z
∆ →
∆
′
∃ = =
∆
(
)
(
)
0 0 0 0
, ,
u x y v x y
i
x x
∂ ∂
+
∂ ∂
,
а
это
означает
,
согласно
определению
8.4,
что
функция
(
)
zf
дифференцируема
в
точке
0
z .

Страницы