Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
zAzdw ∆=
0
. (8.5)
Определение 8.3. Функция
)(zfw =
,
D
z
∈
, называется дифференцируемой на множестве
DD ⊆
1
, если она
дифференцируема в каждой точке этого множества.
Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием конечной производной этой функции в данной
точке устанавливается следующим утверждением.
Теорема 8.1. Дифференцируемость функции
)(zfw =
в точке
0
z
, т.е. справедливость равенства (8.4) равносильна
существованию конечной производной
(
)
0
zf
′
функции
(
)
zf
в точке
0
z
, при этом
(
)
0
zfA
′
=
.
Теорема 8.1 доказывается точно так же, как соответствующее
утверждение для вещественной функции вещественной переменной [2.7, с. 31], при этом используется теорема 5.3.
В силу теоремы 8.1 определение дифференцируемости функции в точке можно сформулировать в следующем виде.
Определение 8.4. Функция
)(zfw =
называется дифференцируемой в точке
0
z
, если она имеет конечную
производную в этой точке.
В силу равенства
(
)
0
zfA
′
=
соотношения (8.4), (8.5) можно записать соответственно в виде
(
)
(
)
0
w f z z o z
′
,
(
)
(
)
0 0
dw z f z z
′
= ∆
. (8.6)
Учитывая, что
zdz ∆=
, формулу (8.6) можно записать в виде
(
)
(
)
0 0
dw z f z dz
′
=
.
Укажем необходимое условие дифференцируемости функции комплексного переменного в точке.
Теорема 8.2. Если функция
)(zfw =
дифференцируема в точке
0
z
, то она непрерывна в этой точке.
Используя представление (8.4), имеем:
(
)
(
)
0 0 0 0
lim lim lim lim 0
z z z z
w A z o z A z o z
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ = ∆ + ∆ = ∆ + ∆ =
.
Получили
0lim
0
=∆
→∆
w
z
, а это означает, согласно определению 5.12, что функция
)(zfw =
непрерывна в точке
0
z
.
Следствие 8.1. Если функция
)(zfw =
дифференцируема на некотором множестве
DD ⊆
1
, то она непрерывна на
этом множестве.
Докажем признак дифференцируемости функции комплексного переменного в точке.
Теорема 8.3. Дифференцируемость функции
+= ),()( yxuzf
),( yxiv
+
комплексного
переменного
iyxz
+
=
в
точке
000
iyxz +=
равносильна
дифференцируемости
её
действительной
и
мнимой
частей
в
точке
(
)
00
, yx
и
выполнению
условий
:
(
)
(
)
y
yxv
x
yxu
∂
∂
=
∂
∂
0000
,,
, (8.7)
(
)
(
)
x
yxv
y
yxu
∂
∂
−=
∂
∂
0000
,,
. (8.8)
Необходимость.
Пусть
функция
(
)
zf
дифференцируема
в
точке
0
z
,
т
.
е
.
выполняется
соотношение
(8.1).
Тогда
в
силу
теоремы
5.3
(
)
( ) ( )
zzf
z
zw
∆α+
′
=
∆
∆
0
0
или
(
)
(
)
(
)
zzzzfzw ∆∆α+∆
′
=∆
00
, (8.9)
где
(
)
z∆α
–
б
.
м
.
в
.
при
0
→
∆
z
.
Пусть
yixz
∆
+
∆
=
∆
,
тогда
(
)
(
)
yyixxzz ∆++∆+=∆+
000
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
−∆+∆++∆+∆+=−∆+=∆ yyxxivyyxxuzfzzfzw
0000000
,,
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
+−∆+∆+=+−
00000000
,,,, yxuyyxxuyxivyxu
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
00000000
,,,, yxviyxuyxvyyxxvi ∆+∆=−∆+∆++
.

Страницы