Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Итак, по определению,
( )
(
)
(
)
(
)
z
zfzzf
z
zw
zf
zz
∆
−∆+
=
∆
∆
=
′
→∆→∆
00
0
0
0
0
limlim
. (8.1)
Если окажется, что
(
)
(
)
∞=
∆
−∆+
→∆
z
zfzzf
z
00
0
lim
,
то говорят, что функция
(
)
zf
имеет бесконечную производную в точ-
ке
0
z
.
Пусть функция
)(zfw =
имеет производную в каждой точке некоторого множества
DD ⊆
1
. Тогда каждому
1
Dz ∈
можно поставить в соответствие производную
)(zf
′
функции
)(zf
во взятой точке
z
. Тем самым на множестве
1
D
задана
функция
)(zfw
′
=
′
, называемая производной функции
)(zfw =
. Производную
)(zfw
′
=
′
обозначают также символом
dz
dw
.
Пример 8.1. Найдём производную функции
zzf =)(
,
Χ
∈
z
. Используя определение 8.1 и соотношение (5.33),
получаем
( )
(
)
(
)
11limlimlim
000
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
′
→∆→∆→∆ zzz
z
zzz
z
zfzzf
zf
.
Итак,
( )
1=
′
z
. (8.2)
Пример 8.2. Найдём производную целой степенной функции
n
zzf =)(
,
Χ
∈
z
,
Ν
∈
n
, при
2
≥
n
. Используя бином
Ньютона (см. (6.18)) и следствие 5.2, получаем
( )
( ) ( ) ( )
0 0
lim lim
n
n
z z
f z z f z z z z
f z
∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −
′
= = =
∆ ∆
( )
2
1 1 2 2
0
1
lim ...
n n n
n n
z
z C z z C z z
z
− −
∆ →
= + ∆ + ∆ +
∆
( ) ( )
}
1
1
...
n n
n n n
n n
C z z C z z
−
−
+ ∆ + ∆ − =
( ) ( )
2 1
1 2 2 1 1
0
lim ...
n n
n n n n
n n
z
nz C z z C z z z nz
− −
− − − −
∆ →
= + ∆ + + ∆ + ∆ =
.
Итак,
(
)
1−
=
′
nn
nzz
. (8.3)
Пусть функция
)(zfw =
непрерывна в точке
0
z
. Тогда в силу (5.37) приращение
w
∆
функции
)(zfw =
в точке
0
z
является б.м.в. при
0
→
∆
z
. В некоторых вопросах необходима более подробная информация о природе б.м.в.
w
∆
при
0
→
∆
z
. В связи с этим вводится понятие дифференцируемости функции в точке.
Определение 8.2. Функция
)(zfw =
называется дифференцируемой в точке
0
z
, если приращение
w
∆
этой функции в
данной точке, отвечающее приращению
z
∆
независимого переменного
z
, представимо в виде
(
)
zozAw ∆+∆=∆
, (8.4)
где А – некоторая комплексная константа, не зависящая от
z
∆
;
(
)
zo ∆
– б.м.в. высшего порядка по сравнению с
z
∆
при
0
→
∆
z
, т.е.
(
)
0lim
0
=
∆
∆
→∆
z
zo
z
,
при этом выражение
z
A
∆
называется дифференциалом функции
)(zfw =
в точке
0
z
и обозначается символом
(
)
0
zdw
(или
(
)
0
zdf
):

Страницы