Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 7.2. Из примеров 7.1, 7.2 видно, что два различных множества могут иметь одинаковую границу и
одинаковую внешность.
Определение 7.12. Множество
D
называется связным, если любые две точки
Dzz ∈
21
,
можно соединить ломаной,
расположенной в
D
(в частности, ломаная может состоять из одного отрезка).
Определение 7.13. Множество
D
называется областью, если оно открыто и связно.
Определение 7.14. Множество
D
называется ограниченным, если
(
)
(
)
0|0
RR
ODO ⊂∃
, т.е.
RzDzR ≤⇒∈∀>∃ |0
.
Определение 7.15. Множество
D
называется неограниченным, если для
(
)
(
)
0 | 0
R R
O z D z O∀ ∃ ∈ ∈
, т.е. если для
0
R
∀ >
: Dz
∈
Rz >
.
В курсах топологии доказывается следующее утверждение.
Теорема Жордана. Каждая замкнутая простая кривая
Г
делит комплексную плоскость
Χ
на две различные области
D
и
G
, общей границей которых она является. При этом одна из этих областей ограничена, другая не ограничена (рис. 7.6).
Рис. 7.6
На рисунке 7.6
D
– ограниченная область,
G
– неограниченная область.
Области
D
и
G
называются соответственно внутренностью и внешностью замкнутой простой кривой
Г
и
обозначаются
Г
I
и
Г
E
(I – начальная буква английского слова interior – внутренность).
Если некоторая точка
0
z
принадлежит
Г
I
, то будем говорить, что замкнутая простая кривая
Г
охватывает
(окаймляет, окружает) точку
0
z
.
Заметим, что внешность границы
D
Г
области
D
совпадает с внешностью области
D
:
DГ
EE
D
=
.
Положительная ориентированность границ
D
Г
и
G
Г
означает, что их обход совершается соответственно против
движения и по движению часовой стрелки (см. рис. 7.6).
Определение 7.16. Множество, состоящее из области
D
и её границы
D
Г
, называется замкнутой областью
(обозначение:
D
; по определению,
D
ГDD ∪= ).
Заметим, что замкнутая область
D
не является областью в смысле определения 7.13, ибо
D
не является открытым
множеством (каждая точка множества
D
, принадлежащая
D
Г , не является внутренней точкой множества
D
).
Замкнутая область
D
является замкнутым множеством.
Определение 7.17. Область
D
называется односвязной, если для любой замкнутой простой кривой
,
γ
расположенной
в
,
D внутренность кривой
γ
расположена в
D
: для DID ⊂⇒⊂γ∀
γ
.
На рисунке 7.6 область
D
является односвязной; область G не является односвязной; область G не является
односвязной, ибо можно указать замкнутую простую кривую
,
γ расположенную в
,
G внутренность которой
γ
~
I не входит в
G (в качестве γ
можно взять любую замкнутую простую кривую, расположенную в
,
G внутренность которой содержит
кривую
Г
).
Определение 7.18. Область
D
называется n-связной Ν∈n
(
,
2
≥
n ), если её граница имеет вид
1210
...
−
∪∪∪∪=
nD
ГГГГГ ,
где
i
Г , (
10
−
≤
≤
ni ) – замкнутые простые кривые, такие что
а)
0
Г
i
I
Г
⊂ ,
11
−
≤
≤
∀
ni ;

Страницы