Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

D
рассматривается кривая (путь интегрирования); при изучении свойств аналитических функций в качестве
D
выступает
односвязная или многосвязная область. Введём соответствующие определения.
Определение 7.1. Непрерывной кривой (линией или дугой)
γ
называется геометрическое место точек
z
комплексной
плоскости
Χ
, изображающих все значения непрерывной комплексной функции
)()()( tiytxtzz +==
(7.1)
вещественной переменной
[
]
βα∈ ,t
, при этом, переменная
t
называется параметром, соотношение (7.1) – параметрическим
уравнением кривой
γ
.
Замечание 7.1. В силу следствия 5.3 непрерывность функции (7.1) на множестве
[
]
βα,
означает, что вещественные
функции
),(tx
)(ty
вещественной переменной
t
непрерывны на отрезке
[
]
βα,
.
В дальнейшем в целях краткости непрерывную кривую будем называть кривой.
При изменении параметра
t
в возрастающем порядке (от
α
к
β
) точка
)(tz
совершает обход кривой
γ
от точки
)(
0
α= zz
до точки
)(
*
β= zz
, при этом точки
0
z
и
*
z
называются соответственно начальной и конечной точками (началом и
концом) кривой
γ
.
При изменении параметра
t
в убывающем порядке (от
β
к
α
) точка
)(tz
совершает обход кривой
γ
от точки
*
z
до
точки
0
z
.
Таким образом, возможны два варианта направления обхода кривой
γ
. Выбор определённого направления обхода
кривой
γ
называется ориентацией кривой
γ
, а кривая с выбранной ориентацией называется ориентированной кривой или
контуром. Ориентированную кривую с направлением обхода от
0
z
к
*
z
будем обозначать тем же символом
γ
, что и саму
кривую, а ориентированную кривую с направлением обхода от
*
z
к
0
z
символом
γ
s
(рис. 7.1).
Рис. 7.1
Определение 7.2. Точкой самопересечения (или кратной точкой) кривой
γ
называется точка этой кривой,
соответствующая двум или более различным значениям параметра
t
, из которых, по крайней мере, одно отлично от
α
и от
β
(рис. 7.2, 7.3).
Рис. 7.2 Рис. 7.3
Точкой самопересечения кривой
γ
является на рис. 7.2 точка
z
~
, на рис. 7.3 – точка
0
z
.
Согласно определению 7.2, точка
γ∈z
~
является точкой самопересечения кривой
γ
, если
]
1 2 1 2
, , ,
t t t t
∃ ∈ α β ≠
, хотя бы
одно из
21
, tt
отлично от
α
и от
β
(
)
(
)
ztztz
~
|
21
==
.
Определение 7.3. Простой (или жордановой) кривой называется кривая, не имеющая точек самопересечения.
Например, кривая
γ
, изображенная на рис. 7.1, является простой.
Определение 7.4. Замкнутой простой кривой (или замкнутым простым контуром) называется простая кривая
начальная и конечная точки которой совпадают (рис. 7.4).

Страницы