Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 7.4
Из рисунка 7.4 видно, что возможны следующие направления обхода замкнутой простой кривой
γ
:
а) обход кривой
γ
из
0
z
в точку
*
z
таким образом, что множество
D
, ограниченное этой кривой, остается слева
(обход против движения (хода) часовой стрелки или, более кратко, обход против часовой стрелки); такой обход называется
положительным обходом замкнутой простой кривой
γ
; кривая
γ
с положительным направлением обхода называется
положительно ориентированной замкнутой простой кривой (или положительно ориентированным замкнутым простым
контуром) и обозначается тем же символом
γ
, что и сама кривая;
б) обход кривой
γ
из
0
z
в точку
*
z
таким образом, что указанное множество
D
, остается справа (обход по движению
(ходу) часовой стрелки или, более кратко, обход по часовой стрелке); такой обход называется отрицательным обходом
замкнутой простой кривой
γ
; кривая
γ
с отрицательным направлением обхода называется отрицательно
ориентированной замкнутой простой кривой (или отрицательно ориентированным замкнутым простым контуром) и
обозначается символом
γ
s
(см. рис. 7.4).
Рассмотрим некоторое множество
D
на комплексной плоскости
Χ
.
Определение 7.5. Точка
Dz ∈
0
называется внутренней точкой множества, если
(
)
DzO ⊂∃
δ 0
.
Определение 7.6. Точка
Χ∈
0
z
называется граничной точкой множества
D
, если
(
)
0
zO
δ
∀
(
)
DzzOz ∈∈∃
δ 101
|
и
(
)
DzzOz ∈∈∃
δ 202
|
.
Определение 7.7. Границей множества
D
называется совокупность всех граничных точек этого множества
(обозначение:
D
Г
или
Г
).
Определение 7.8. Точка
Dz \
0
Χ∈
называется внешней точкой множества
D
, если
(
)
(
)
∅=∩∃
δδ
DzOzO
00
|
.
Определение 7.9. Внешностью множества
D
называется совокупность всех внешних точек этого множества
(обозначение:
D
E
(Е – начальная буква английского слова exterior – внешность)).
Определение 7.10. Множество
D
называется открытым, если каждая точка
D
z
∈
является внутренней точкой
множества
D
, т.е.
( ), ( ) | ( )
z D O z z O z D
δ δ
∀ ∈ ∃ δ = δ ⊂
.
Пример 7.1. Пусть
(
)
RzzzzOD
R
<−∈==
00
:Χ
– открытый круг с центром в точке
0
z
радиуса
R
(рис. 7.5).
Рис. 7.5
Множество
D
является открытым, для него
RzzzГ
D
=−∈=
0
:Χ
– окружность с центром в точке
0
z
радиуса
R
,
RzzzE
D
>−∈=
0
:Χ
– внешность замкнутого круга
(
)
=
0
zO
R
Rzzz ≤−∈=
0
:Χ
.
Определение 7.11. Множество
D
называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Пример 7.2. Множество
(
)
01
zOD
R
=
является замкнутым, для него
(
)
0
1
zSГ
RD
=
,
(
)
0
\
1
zOE
RD
Χ=
.

Страницы