Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 1
Arctg Ln
2 1
iz
z
i iz
+
=
−
,
{
}
iiz −∈ ,\Χ
; (6.73)
1
Arcctg Ln
2
z i
z
i z i
+
=
−
,
{
}
iiz −∈ ,\Χ
. (6.74)
Из формул (6.71) – (6.74) видно, что
z
,
Arccos
z
,
Arctg
z
,
z
являются
бесконечнозначными
функциями
,
ибо
они
выражаются
через
бесконечнозначную
логарифмическую
функцию
.
Введённые
выше
функции
z
e
,
zsin
,
z
cos
,
z
tg
,
z
ctg
,
zsh
,
zсh
,
zth
,
zcth
,
z
Ln
,
z
a
,
a
z
,
z
,
Arccos
z
,
Arctg
z
,
z
называются
основными элементарными функциями комплексного переменного
.
Непрерывность
основных
элементарных
функций
(
для
многозначных
функций
−
их
однозначных
ветвей
)
можно
проверять
с
помощью
признака
непрерывности
функций
комплексного
переменного
(
см
.
теорему
5.8
и
следствие
5.3)
и
основной
теоремы
о
непрерывных
функциях
комплексного
переменного
(
см
.
теорему
5.9
и
следствие
5.4).
Пример 6.6. Функция
sin zw
=
непрерывна
на
Χ
.
Действительно
,
пусть
iyxz
+
=
,
),(),( yxivyxuw +=
.
Тогда
,
используя
формулы
(6.26), (6.36), (6.37),
получаем
yxi yxiyxyxivyxu sh cosch sin)sin(),(),( +=+=+
,
откуда
yxyxu ch sin),( =
,
yxyxv sh cos),( =
.
Функции
),( yxu
и
),( yxv
непрерывны
на
2
Ρ
,
следовательно
,
функция
sin z
непрерывна
на
Χ
.
Пример 6.7. Функция
cos
z
w
=
непрерывна
на
Χ
,
ибо
её
действительная
часть
yxyxu ch cos),( =
и
мнимая
часть
yxyxv sh sin),( −=
непрерывны
на
2
Ρ
(
вид
),( yxu
и
),( yxv
получен
из
(6.43)).
Пример 6.8.
Функции
cos
sin
tg
z
z
zw ==
и
z
z
zw
sin
cos
ctg ==
непрерывны
соответственно
на
(
)
zD tg
и
(
)
zD ctg
как
отношение
двух
непрерывных
на
этих
множествах
функций
.
Элементарными функциями комплексного переменного
называются
функции
,
полученные
из
основных
элементарных
функций
комплексного
переменного
с
помощью
конечного
числа
алгебраических
операций
и
конечного
числа
операций
взятия
функции
от
функции
(
конечного
числа
суперпозиций
).
Приведём
несколько
примеров
элементарных
функций
комплексного
переменного
,
используемых
в
различных
приложениях
.
Пример 6.9.
Целая рациональная функция
::
=
функция
вида
)(zPw
n
=
,
где
)(zP
n
−
многочлен
степени
n
комплексного
переменного
z
:
nn
nn
n
azazazazP ++++=
−
−
1
1
10
...)(
;
Χ∈
− nn
aaaa ,,...,,
110
,
0
0
≠a
(
числа
i
a
,
ni
≤
≤
0
,
называются
коэффициентами
многочлена
)(zP
n
).
Отметим
,
что
(
)
Χ=wD
.
Целая
рациональная
функция
непрерывна
на
множестве
Χ
как
линейная
комбинация
непрерывных
на
этом
множестве
целых
степенных
функций
(
см
.
следствие
5.5).
Замечание 6.11.
Часть
слагаемых
в
выражении
для
многочлена
может
отсутствовать
.
Это
означает
,
что
коэффициенты
при
соответствующих
степенях
z
равны
нулю
.
Частным
случаем
целой
рациональной
функции
является
линейная функция
10
azaw +=
,
0
0
≠a
.
Пример 6.10.
Дробно-рациональная функция
::
=
функция
вида
)(/)( zQzPw
mn
=
,
где
)(zP
n
,
)(zQ
m
−
многочлены
степени
n и m соответственно
.
Заметим
,
что
(
)
{
}
0)(| ≠∈= zQzwD
m
Χ
.
Дробно
-
рациональная
функция
непрерывна
на
своей
области
определения
как
отношение
двух
непрерывных
на
этой
области
целых
рациональных
функций
(
см
.
следствие
5.4).
Частным
случаем
дробно
-
рациональной
функции
является
дробно-линейная функция
10
10
bzb
aza
w
+
+
=
,
0
0
≠b
.
Замечание 6.12.
Дробно
-
рациональную
функцию
называют
также
рациональной
функцией
.
7. НЕКОТОРЫЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
Непрерывная кривая; ориентация кривой; ориентированная кривая; точки самопересечения кривой; простая кривая;
замкнутая простая кривая; положительно ориентированная замкнутая простая кривая; отрицательно ориентированная
замкнутая простая кривая; внутренние и граничные точки множества; граница множества; внешние точки множества;
внешность множества; открытые и замкнутые множества; связное множество; область; ограниченное множество;
теорема Жордана; внутренность и внешность замкнутой простой кривой; односвязная область; многосвязная область, её
внешняя и внутренняя границы.
При
введении
понятия
функции
комплексного
переменного
в
качестве
её
области
определения
рассматривалось
произвольное
множество
D
точек
комплексной
плоскости
Χ
.
В
различных
конкретных
вопросах
в
качестве
D
приходится
брать
множества
специального
вида
.
Например
,
при
определении
интеграла
функции
комплексного
переменного
в
качестве

Страницы