Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Используя определение логарифма комплексного числа, формулу (6.65) можно записать в виде
(
)
[
]
kaiaz
z
ea
π++
=
2argln
,
Ζ∈k
. (6.66)
Из (6.66) видно, что общая показательная функция является бесконечнозначной функцией.
Определение 6.7. Главной ветвью (или главным значением) общей показательной функции называется функция,
определённая на множестве
Χ
по формуле
azz
ea
ln
=
.
Главная ветвь функции
z
a
является однозначной функцией, она получается из выражения для общей показательной
функции при
0=k
, т.е. отвечает выбору главного значения логарифма комплексного числа а.
Пример 6.4. Вычислим значение функции
(
)
1 3
z
i
+
, при
iz 22
+
=
:
( )
( )
( )
( )
2 2 ln2 2
2 2
2 2 Ln 1 3
3
1 3
i i k
i
i i
i e e
π
+ + + π
+
+ +
2
2ln 2 2 2 2ln 2 4
3 3
k i k
e
π π
− + π + + + π
= =
2 2
2ln 2
3
2 2
cos 2ln 2 4 sin 2ln 2 4
3 3
k
e e k i k
π
− + π
π π
= + + π + + + π =
2 2
3
2 2
4 cos 2ln 2 sin 2ln 2
3 3
k
e i
π
− + π
π π
= + + +
.
Получили
(
)
2 2
1 3
i
i
+
+ =
2 2
3
2 2
4 cos 2ln 2 sin 2ln 2
3 3
k
e i
π
− + π
π π
= + + +
,
Ζ∈k
. (6.67)
Главное значение функции
(
)
1 3
z
i
+
при
iz 22
+
=
равно комплексному числу
π
++
π
+
π
−
3
2
2ln2sin
3
2
2ln2cos4
3
2
ie
.
Определение 6.8. Целой степенной функцией с показателем степени
Ν
∈
n
называется функция, определённая на
множестве
Χ
по формуле
43421
раз
...
n
n
zzzz ⋅⋅⋅=
.
Функция
n
z
является однозначной функцией, её значения можно вычислять по формуле Муавра (см. (1.30)). Функция
n
z
непрерывна на
Χ
как натуральная степень непрерывной на
Χ
функции
z
w
=
(функция
z
w
=
непрерывна в любой
точке
Χ∈
0
z
согласно определению 5.12, ибо
(
)
(
)
zzzzzwzzww ∆=−∆+=−∆+=∆
0000
и
0
→
∆
w
, при
0
→
∆
z
) .
Определение 6.9. Общей
степенной
функцией с показателем степени
Χ
∈
a
называется функция, определённая на
множестве
{
}
0\Χ
формулой
zaa
ez
Ln
=
. (6.68)
Учитывая (6.56), формулу (6.68) можно записать в виде
(
)
[
]
kziza
a
ez
π++
=
2argln
,
Ζ∈k
. (6.69)
Из (6.69) видно, что общая степенная функция является бесконечнозначной функцией.
Например, значение функции
i
z
22+
при
iz 31+=
выражается формулой (6.67).
Функции
Arcsin
w z
=
,
Arccos
w z
=
,
Arctg
w z
=
,
Arcctg
w z
=
определяются
как
функции
,
обратные
соответствующим
тригонометрическим
функциям
wz sin=
,
w
z
cos
=
,
wz tg
=
,
wz ctg
=
.
Определим
,
например
,
функцию
Arcsin
w z
=
как
функцию
,
обратную
функции
wz sin=
.

Страницы