Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
kikiz
z
π+=π++=
=
27ln207ln|Ln
7
,
Ζ∈k
;
7ln|ln
7
=
=z
z
.
Пример 6.3. Вычислим значения функций
z
Ln
и
z
ln
при
iz 43
+
=
,
iz 2
−
=
,
4
−
=
z
:
( )
4
Ln 3 4 ln5 arctg 2
3
i i k
+ = + + π
,
Ζ∈k
;
( )
4
ln 3 4 ln5 arctg
3
i i+ = +
;
( )
Ln 2 ln 2 2
2
i i k
π
− = + − + π
,
Ζ∈k
;
( )
2
2ln2ln
π
−=− ii
;
(
)
(
)
Ln 4 ln 4 2
i k
− = + π + π
,
Ζ∈k
;
(
)
π+=− 4ln4ln i
.
Для
{
}
0\,
21
Χ∈∀ zz
справедливы равенства
(
)
2121
Ln Ln Ln zzzz +=
, (6.59)
21
2
1
Ln Ln Ln zz
z
z
−=
. (6.60)
Действительно, по определению
(
)
pzizz π++= 2arglnLn
111
,
Ζ
∈
p
;
(
)
qzizz π++= 2arglnLn
222
,
Ζ
∈
q
.
Тогда
(
)
)(2argarglnlnLn Ln
212121
qpzzizzzz +π++++=+
;
Ζ
∈
qp,
. (6.61)
Учитывая
замечание
6.9
а
также
свойство
(
)
2121
lnlnln bbbb =+
натуральных
логарифмов
и
равенство
(1.20),
получаем
2121
lnlnln zzzz =+
.
Заметим
,
что
когда
величины
p
и
q
изменяются
на
множестве
Ζ
,
множество
всех
значений
величины
qpk +=
совпадает
со
множеством
Ζ
.
Тогда
формулу
(6.61)
можно
записать
в
виде
(
)
kzzizzzz π+++=+ 2argarglnLn Ln
212121
,
Ζ∈k
.
Или
в
силу
(1.21)
(
)
212121
ArglnLn Ln zzizzzz +=+
. (6.62)
В
силу
(6.57)
(
)
(
)
212121
Ln Argln zzzzizz =+
. (6.63)
Из
(6.62), (6.63)
следует
формула
(6.59).
Аналогично
доказывается
равенство
(6.60),
при
этом
используются
свойство
2
1
21
lnlnln
b
b
bb =−
натуральных
логарифмов
и
формулы
(1.23), (1.24).
Из
(6.59)
вытекает
формула
zmz
m
Ln Ln =
,
Ν
∈
∀
m
. (6.64)
Определение 6.6. Общей показательной функцией
с
основанием
Χ
∈
a
,
0
≠
a
,
называется
функция
,
определённая
на
множестве
Χ
по
формуле
Ln
z z a
a e=
. (6.65)

Страницы