Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

zizz arglnln +=
. (6.53)
Замечание 6.7. Любое число вида
kiww
k
π+= 2
0
,
Ζ∈k
, является логарифмом комплексного числа
z
.
Действительно, в силу (6.40) (6.52)
zeee
wkiww
k
===
π+
00
2
.
Замечание 6.8. Если
1
w ,
2
w − логарифмы комплексного числа
z
, то kiww π=−
2
21
, где Ζ∈k .
Действительно, по определению логарифма ze
w
=
1
, ze
w
=
2
. Следовательно,
21
ww
ee = . (6.54)
Умножая обе части равенства (6.54) на
2
w
e
−
и используя формулу (6.15), получаем
0
21
ee
ww
=
−
. (6.55)
Пусть
111
ibaw += ,
222
ibaw += . Тогда
(
)
(
)
212121
bbiaaww −+−=− и в силу (6.23)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2121
sincos
21212121
bbibbeee
aabbiaaww
−+−==
−−+−−
.
Равенство (6.55) принимает вид
(
)
(
)
[
]
1sincos
2121
21
=−+−
−
bbibbe
aa
,
откуда получаем
1
21
=
−aa
e , следовательно
0
21
=− aa ; =−
21
bb kk
π
=
π
+
=
220
, где Ζ∈k . Значит,
kikiww π=π+=−
220
21
, Ζ∈k .
В силу замечаний 6.6 – 6.8 множество всех логарифмов данного комплексного числа
z
задаётся формулой
kizz π+=
2lnLn
, Ζ∈k ,
или, в силу (6.53)
(
)
kzizz π++=
2arglnLn
, Ζ∈k , (6.56)
или, в силу равенства zkz
Arg2arg
=π+
zizz
ArglnLn
+= . (6.57)
Определение 6.4. Логарифмической функцией комплексного переменного
z
называется функция, определённая на
множестве
{
}
0\
Χ=D по формуле (6.56).
Из определения 6.4 видно, что логарифмическая функция является многозначной, точнее, бесконечнозначной
функцией, ибо каждому
D
z
соответствует бесконечное множество значений
(
)
kzizw
k
π++=
2argln
,
Ζ∈k
, при этом
действительные части этих значений одинаковы, а их мнимые части отличаются между собой на слагаемые, кратные
π
2
.
При каждом фиксированном
Ζ∈k
функция вида
(
)
(
)
kzizz
k
π++=
2arglnLn
,
Ζ∈k
(6.58)
является однозначной функцией, ибо аргумент
(
]
kk π+ππ+π−∈ϕ
2;2
комплексного переменного
z
при фиксированном
k
определяется однозначно. Каждая из функций вида (6.58) называется стандартной ветвью логарифмической функции.
Таким образом, логарифмическая функция имеет бесконечное число стандартных ветвей
(
)
k
z
Ln
,
Ζ∈k
.
Определение 6.5. Главной ветвью (или главным значением) логарифмической функции
z
Ln
называется её стандартная
ветвь при
0=k
:
(
)
zizz arglnLn
0
+=
.
Из (6.53) видно, что главная ветвь логарифмической функции
z
Ln
совпадает с главным значением логарифма
комплексного переменного
z
:
(
)
zz lnLn
0
=
, т.е. в качестве главной ветви логарифмической функции
z
Ln
выступает
функция
zizz arglnln +=
.
Таким образом, главное значение логарифмической функции
z
Ln
получается из выражения для этой функции при
0=k
,
т.е. отвечает выбору главного значения аргумента комплексного переменного
z
.
Замечание 6.9. Значение функции
z
ln
при
x
z
=
, где
Ρ
∈
x
,
0
>
x
, является действительным числом и совпадает с
натуральным логарифмом этого числа:
xz
xz
ln|ln =
=
.
Например,

Страницы