Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу (6.12), (6.40) имеем
Χ
∈
∀
z
,
Ζ∈∀k
,
0≠k
:
( )
2 2
1
sin 2 sin
2 2
iz iz
iz ki iz ki
e e
z k e e z
i i
−
+ π − − π
−
+ π = − = =
,
т.е.
(
)
zkz sin2sin =π+
.
Аналогично доказывается, что
(
)
zkz cos2cos =π+
.
Таким образом, любое число вида
kT π= 2
,
Ζ∈k
,
0≠k
, является периодом функций
zsin
и
z
cos
. В качестве основного
периода этих функций берётся число
π= 2
0
T
.
Из формул (6.12), (6.13) следует основное тригонометрическое тождество для функций комплексного переменного:
1cossin
22
=+ zz
,
Χ
∈
∀
z
.
Из равенств (6.26), (6.27) следуют формулы приведения аргумента:
Χ
∈
∀
z
zz cos
2
sin =
π
+
,
zz sin
2
cos −=
π
+
,
(
)
zz sinsin −=π+
,
(
)
zz coscos −=π+
.
По определению,
z
z
z
cos
sin
tg =
,
z
z
z
sin
cos
ctg =
.
Заметим, что области определения функций
z tg
,
z ctg
имеют
вид
(
)
0cos| tg ≠∈= zzzD Χ
,
(
)
0sin| ctg ≠∈= zzzD Χ
.
Уточним
вид
множеств
(
)
zD tg
,
(
)
zD ctg
.
Определение 6.2. Нулём
функции
)(zfw =
,
D
z
∈
,
называется
значение
Dz ∈
0
,
при
котором
данная
функция
обращается
в
нуль
:
0)(
0
=zf
.
Замечание 6.2. Существуют
функции
,
у
которых
нет
нулей
.
Например
,
в
силу
(6.25),
функция
z
ew =
,
Χ
∈
z
,
не
имеет
нулей
.
Замечание 6.3. Множество
нулей
функции
z
cos
имеет
вид
( )
∈π+
π
= ΖkkzN ,
2
cos
. (6.41)
Действительно
,
множество
нулей
функции
z
cos
совпадает
с
множеством
решений
уравнения
0cos
=
z
. (6.42)
Используя
формулы
(6.27), (6.36), (6.37),
получаем
(
)
yxi yxiyxz sh sinch coscoscos −=+=
. (6.43)
В
силу
(6.43)
уравнение
(6.42)
равносильно
системе
двух
уравнений
0сh cos =yx
, (6.44)
0sh sin = yx
. (6.45)
Из
(6.44)
вытекает
,
что
0cos
=
x
,
ибо
(
)
0
2
1
ch ≠+=
−yy
eey
для
Ρ
∈
∀
y
.
Следовательно
,
kx π+
π
=
2
,
Ζ∈k
.
Подставляя
такие
значения
x
в
уравнение
(6.45),
получаем
0sh
2
sin =
π+
π
yk
.

Страницы