Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1 1 2 2
1 2 1 2
sin cos cos sin
2 2
iz iz iz iz
e e e e
z z z z
i
− −
− +
+ = ⋅ +
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 4
iz iz iz iz
i z z i z z i z z
e e e e
e e e
i i
− −
+ − − −
+ −
+ ⋅ = + − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
i z z i z z i z z i z z i z z
e e e e e
− + + − − − − +
− + − + − =
( ) ( )
( )
1 2 1 2
1 2
1
sin
2
i z z i z z
e e z z
i
+ − +
= − = +
.
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (6.26). Заменяя в формулах (6.26), (6.27)
2
z
на
2
z−
и используя
(6.8), получаем для
Χ∈∀
21
, zz
(
)
212121
sincoscossinsin zzzzzz −=−
, (6.28)
(
)
212121
sinsincoscoscos zzzzzz +=−
. (6.29)
Гиперболические функции
zsh
(гиперболический синус),
zch
(гиперболический косинус),
zth
(гиперболический
тангенс),
zсth
(гиперболический котангенс) комплексного переменного
z
определяются по формулам
sh
zz
ee
z
−
−
=
,
ch
zz
ee
z
−
+
=
, (6.30)
z
z
z
ch
sh
th =
,
z
z
z
sh
сh
сth =
. (6.31)
Из (6.12), (6.13) следуют формулы, выражающие тригонометрические функции
zsin
и
z
cos
через гиперболические
функции:
iziz sh sin
−=
, (6.32)
izz ch cos
=
. (6.33)
Заменяя в равенствах (6.32), (6.33)
z
на
iz
−
и записывая их справа- налево, имеем
)sin(sh izzi
−=−
,
)cos(ch izz
−=
, откуда с
учётом (6.8) получаем формулы, выражающие гиперболические функции
zsh
и
zch
через тригонометрические функции:
iziz sinsh
−=
, (6.34)
izz cosch
=
. (6.35)
Следовательно,
ziiz sh sin
=
, (6.36)
ziz ch cos
=
. (6.37)
Используя формулы (6.28), (6.29), (6.36), (6.37), получаем более простое решение примера 6.2:
3sh 2cosch3 2sin3sin2cos3cos2sin)32sin( iiii
−=−=−
,
3sh 2sinch3 2cos3sin2sin3cos2cos)32cos( iiii
+=+=−
.
Значения гиперболических функций комплексного переменного можно находить, используя последовательно формулы
(6.34), (6.35), (6.26) – (6.29), (6.36), (6.37).
Например,
(
)
(
)
[
]
(
)
=+−−=+−=+
iiiiii 32sin23sin23sh
[
]
[
]
=+−−=−+−−=
3sh 2cos3ch 2sin3sin)2cos(3cos)2sin( iiiii
ch3 2sin3sh 2cos i
+=
.
Получили
(
)
ch3 2sin3sh 2cos23sh ii
+=+
.
Исследуем функцию
z
e
на периодичность. Для этого нужно выяснить, существует ли комплексное число
|0 ,
21
≠+=
TiTTT
⇒
∈
∀
Χ
z
zTz
ee
=
+
. (6.38)
Умножая обе части равенства (6.38) на
z
e
−
и используя формулу (6.15), получаем

Страницы