Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
cos
iziz
ee
z
−
+
=
. (6.13)
Пусть комплексное число
z
записано в тригонометрической форме:
(
)
cos sin
z i
= ρ ϕ + ϕ
. В силу (6.10)
ϕ
=ϕ+ϕ
i
ei sincos
. Тогда
ϕ
ρ=
i
ez . (6.14)
Выражение (6.14) называется показательной формой записи (представления) комплексного числа
z
.
В силу (6.10) формулы (1.19), (1.22), (1.30), (1.33) принимают соответственно следующий вид:
(
)
21
2121
ϕ+ϕ
ρρ=
i
ezz ;
( )
21
2
1
2
1
ϕ−ϕ
ρ
ρ
=
i
e
z
z
;
ϕ
ρ=
innn
ez ;
n
k
i
n
n
k
ezw
π+ϕ
⋅
ρ==
2
,
1...,,1,0
−
=
nk
.
Докажем
основное
свойство
показательной
функции
:
2121
zzzz
eee
⋅=
+
,
Χ∈∀
21
,
zz
. (6.15)
Действительно
,
пусть
Χ∈
21
,
zz
;
21
,
zz
фиксированы
.
В
силу
замечания
6.1
ряды
0
!
n
n
z
n
∞
=
∑
,
2
0
!
n
n
z
n
∞
=
∑
(6.16)
сходятся
абсолютно
.
Запишем
произведение
рядов
в
форме
Коши
[2.2,
с
. 90]:
1 2 1 2
0 0 0
! ! ! !
n n l k
n n n l k n
z z z z
n n l k
∞ ∞ ∞
= = = + =
⋅ =
∑ ∑ ∑ ∑
. (6.17)
Используя
бином
Ньютона
для
комплексных
чисел
[2.12,
с
. 106]
( )
1 2 1 2
0
n
n
k n k k
n
k
z z C z z
−
=
+ =
∑
(6.18)
и
формулу
для
биномиальных
коэффициентов
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
,
получаем
( )
1 2
1 2
1 2 1 2
0 0
1 ! 1
! ! ! !( )! ! !
n
l k
n n
n k k k n k k
n
l k n k k
z z
z z
n
z z C z z
l k n k n k n n
− −
+ = = =
+
= = =
−
∑ ∑ ∑
. (6.19)
В
силу
(6.17), (6.19)
( )
1 2
1 2
0 0 0
! ! !
n
n n
n n n
z z
z z
n n n
∞ ∞ ∞
= = =
+
⋅ =
∑ ∑ ∑
. (6.20)
В
силу
теоремы
4.8
ряд
в
правой
части
(6.20)
сходится
абсолютно
и
( )
1 2
1 2
0 0 0
( ) ( ) ( )
! ! !
n
n n
n n n
z z
z z
s s s
n n n
∞ ∞ ∞
= = =
+
= ⋅
∑ ∑ ∑
. (6.21)
(
в
целях
лучшего
понимания
существа
дела
здесь
использовано
обозначение
:
1
( )
n
n
s z
∞
=
∑
−
сумма
ряда
∑
∞
=1n
n
z
).
В
силу
(6.5)

Страницы