Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для функций комплексного переменного справедлива основная теорема о непрерывных функциях, согласно которой в
результате арифметических операций над функциями, непрерывными в данной точке, получаются функции, которые также
непрерывны в этой точке.
Теорема 5.9. Пусть функции
)(
1
zf
и
)(
2
zf
непрерывны в точке
0
z
. Тогда их сумма, разность, произведение и
частное, т.е. функции
)()(
21
zfzf +
,
)()(
21
zfzf −
,
)()(
21
zfzf ⋅
,
)(
)(
2
1
zf
zf
тоже непрерывны в точке
0
z
, при этом в случае
частного предполагается, что
2 0
( ) 0
f z
≠
.
Теорема 5.9. доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественных функций вещественной
переменной [2.8, с. 112], при этом используется теорема 5.6.
Следствие 5.4. Сумма, разность, произведение и частное двух непрерывных на некотором множестве функций
комплексного переменного являются непрерывными функциями на этом множестве, при этом в случае частного
предполагается, что знаменатель отличен от нуля на данном множестве.
Следствие 5.5. Линейная комбинация любого конечного числа функций, непрерывных на некотором множестве,
является непрерывной функцией на этом множестве.
Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой о непрерывности сложной функции.
Теорема 5.10. Пусть для сложной функции
(
)
)()( zfzF ϕ=
выполняются следующие условия:
а) функция
)(zh ϕ=
непрерывна в точке
0
z
;
б) функция
)(hfw =
непрерывна в точке
(
)
00
zh ϕ=
.
Тогда сложная функция
(
)
)()( zfzF ϕ=
непрерывна в точке
0
z
.
Доказательство теоремы 5.10 аналогично доказательству соответствующего утверждения для сложной функции
вещественной переменной [2.13, с. 156].
Следствие 5.6. Пусть для сложной функции
(
)
)()( zfzF ϕ=
выполняются следующие условия:
1) функция
)(zh ϕ=
непрерывна на множестве
)(
1
ϕ⊆ DD
;
2) функция
)(hfw =
непрерывна на множестве
(
)
11
Dϕ=Ω
(
1
Ω
−
образ множества
1
D
при отображении
ϕ
).
Тогда сложная функция
(
)
)()( zfzF ϕ=
непрерывна на множестве
1
D
.
6. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Функции ,
z
e
,sin z
;
cos
z
формула Эйлера; формулы, выражающие
,sin z
z
через
;
z
e
показательная форма записи
комплексного числа; основное свойство показательной функции; тригонометрические тождества; гиперболические
функции; формулы, связывающие
,sin z
z
с
,sh z ;ch z
периодичность
функций
,
z
e
,sin z
;
cos
z
функции
,tg z
; ctg z
формулы
,
связывающие
,tg z
z ctg
с
,th z ;cth z
логарифмическая
функция
,
её
стандартные
ветви
;
главная
ветвь
логарифмической
функции
;
свойства
логарифмической
функции
;
общая
показательная
функция
,
её
главное
значение
;
целая
степенная
функция
;
общая
степенная
функция
;
обратные
тригонометрические
функции
,
их
выражение
через
логарифмическую
функцию
;
непрерывность
основных
элементарных
функций
;
некоторые
элементарные
функции
:
целая
рациональная
функция
,
линейная
функция
,
дробно
-
рациональная
функция
,
дробно
-
линейная
функция
.
Введём
понятия
основных
элементарных
функций
комплексного
переменного
.
Естественно
,
что
такие
функции
при
действительных
значениях
аргумента
должны
совпадать
с
соответствующими
функциями
действительного
переменного
.
Прямой
перенос
определений
основных
элементарных
функций
действительного
аргумента
x
заменой
в
них
x
на
комплексный
аргумент
z
в
большинстве
случаев
невозможен
,
ибо
при
такой
замене
аргумента
данные
определения
теряют
смысл
.
Несмотря
на
это
,
имеющаяся
информация
об
основных
элементарных
функциях
действительного
переменного
позволяет
разумным
образом
определить
такие
функции
для
комплексного
переменного
.
Например
,
известны
разложения
функций
x
e
,
xsin
,
x
в
ряд
Маклорена
[2.2,
с
. 185]:
для
Ρ
∈
∀
x
2
0
1 ... ...
! 2! !
n n
x
n
x x x
e x
n n
∞
=
= = + + + + +
∑
; (6.1)
...
)!12(
)1(...
!5!3)!12(
)1(sin
1253
0
12
+
+
−+−+−=
+
−=
+∞
=
+
∑
n
xxx
x
n
x
x
n
n
n
n
n
; (6.2)
...
)!2(
)1(...
!4!2
1
)!2(
)1(cos
242
0
2
+−+−+−=−=
∑
∞
=
n
xxx
n
x
x
n
n
n
n
n
(6.3)
(
напомним
,
что
записи
(6.1) – (6.3)
означают
,
что
функции
x
e
,
xsin
,
x
представлены
в
виде
сумм
соответствующих
степенных
рядов
).
Чтобы
определить
показательную
функцию
z
e
и
тригонометрические
функции
zsin
,
z
комплексного
переменного
z
по
формулам
(6.1) – (6.3)
и
чтобы
эти
функции
обладали
свойствами
,
аналогичными
соответствующим
свойствам
функций
x
e
,
xsin
,
x
,
необходимо
чтобы
ряды

Страницы