Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Ahf
hh
=∃
→
)(lim
*
.
Тогда
(
)
Azf
zz
=ϕ∃
→
)(lim
0
.
Доказательство теоремы 5.7 аналогично доказательству соответствующего утверждения для сложной функции
вещественной переменной [2.1, с. 69].
Пусть задана функция комплексного переменного
)(zfw
=
,
D
z
∈
,
и
0
z
−
предельная
точка
множества
D
,
принадлежащая
D
.
Определение 5.11.
Функция
)(zfw
=
называется
непрерывной в точке
0
z
,
если
существует
предел
этой
функции
в
точке
0
z
,
равный
её
значению
в
данной
точке
:
)()(lim
0
0
zfzf
zz
=∃
→
. (5.35)
Пусть
функция
)(
zfw
=
непрерывна
в
точке
0
z
,
т
.
е
.
выполняется
соотношение
(5.35).
В
силу
(5.30), (5.33)
равенство
(5.35)
можно
записать
в
виде
[
]
0)()(lim
0
0
=−
→
zfzf
zz
. (5.36)
Положим
0
zzz −=∆
,
(
)
0
)( zfzfw −=∆
.
Комплексное
число
z
∆
называется
приращением независимого переменного
z
в
точке
0
z
,
а
комплексное
число
w
∆
−
приращением функции
)(
zfw
=
в точке
0
z
,
соответствующим
приращению
z
∆
.
В
этих
обозначениях
равенство
(5.36)
принимает
вид
0lim
0
=∆
→∆
w
z
, (5.37)
и
определение
непрерывности
функции
в
точке
можно
сформулировать
следующим
образом
.
Определение 5.12.
Функция
)(
zfw
=
называется
непрерывной в точке
0
z
,
если
приращение
w
∆
этой
функции
в
данной
точке
,
соответствующее
приращению
z
∆
независимого
переменного
z
,
является
б
.
м
.
в
.
при
0
→
∆
z
.
Определение 5.13.
Функция
)(
zfw
=
называется
непрерывной на множестве
DD ⊆
1
,
если
она
непрерывна
в
каждой
точке
этого
множества
.
Замечание 5.9.
Если
функция
)(zf
непрерывна
в
точке
0
z
,
то
функция
)(zf
тоже
непрерывна
в
точке
0
z
.
Действительно
,
пусть
функция
)(zf
непрерывна
в
точке
0
z
,
т
.
е
.
выполняется
соотношение
(5.35).
Тогда
в
силу
замечания
5.8
0 0
lim ( ) lim ( ) ( )
z z z z
f z f z f z
→ →
∃ = =
.
Получили
0
0
lim ( ) ( )
z z
f z f z
→
∃ =
,
а
это
означает
,
по
определению
,
что
функция
)(zf
непрерывна
в
точке
0
z
.
Замечание 5.10.
Если
функция
)(zf
непрерывна
на
некотором
множестве
,
то
функция
)(zf
непрерывна
на
этом
множестве
.
Укажем
признак непрерывности функции комплексного переменного в точке
.
Теорема
5.8.
Непрерывность
функции
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного
переменного
iyxz
+
=
в
точке
000
iyxz +=
равносильна
непрерывности
её
действительной
и
мнимой
частей
в
точке
(
)
00
, yx
.
Необходимость
.
Пусть
функция
)(zf
непрерывна
в
точке
0
z
,
т
.
е
.
имеет
место
соотношение
(5.35).
Заметим
,
что
),(),()(
00000
yxivyxuzf +=
.
Тогда
в
силу
теоремы
5.5 (
необходимость
)
),(),(lim
00
),(),(
00
yxuyxu
yxyx
=∃
→
,
),(),(lim
00
),(),(
00
yxvyxv
yxyx
=∃
→
, (5.38)
а
это
означает
,
по
определению
непрерывности
вещественной
функции
двух
вещественных
переменных
в
точке
,
что
функции
),( yxu
и
),( yxv
непрерывны
в
точке
),(
00
yx
.
Достаточность.
Пусть
функции
),( yxu
и
),( yxv
непрерывны
в
точке
),(
00
yx
,
т
.
е
.
выполняются
соотношения
(5.38).
Тогда
в
силу
теоремы
5.5 (
достаточность
)
)(),(),()(lim
00000
0
zfyxivyxuzf
zz
=+=∃
→
,
т
.
е
.
функция
)(zf
непрерывна
в
точке
0
z
.
Следствие 5.3.
Непрерывность
функции
комплексного
переменного
на
некотором
множестве
равносильна
непрерывности
её
действительной
и
мнимой
частей
на
этом
множестве
.
Например
,
в
силу
следствия
5.3
функция
4)(
2
+= zzf
,
Χ
∈
z
,
из
примера
5.3
непрерывна
на
Χ
,
ибо
её
действительная
часть
4),(
22
+−= yxyxu
и
мнимая
часть
xyyxv 2),( =
непрерывны
на
2
Ρ
.

Страницы