Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0 0
lim ( ) lim ( )
z z z z
f z f z
→ →
=
. (5.25)
Действительно, пусть функция
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
+
=
имеет в точке
000
iyxz +=
предел
ν
+
µ
=
iA
. Тогда в силу теоремы 5.5 выполняются соотношения (5.18), (5.19). Используя теорему о
пределе сложной функции двух вещественных переменных [2.9, с. 51], свойства пределов вещественных функций двух
вещественных переменных [2.9, с. 49] и соотношения (5.18), (5.19), получаем
[ ] [ ]
0 0 0
2 2
( , ) ( , )
lim ( ) lim ( , ) ( , )
z z x y x y
f z u x y v x y
→ →
= + =
0 0 0 0
2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) lim ( , )
x y x y x y x y
u x y v x y
→ →
= + =
0
2 2
lim ( )
z z
i f z
→
= µ + ν = µ + ν =
.
Собирая начало и конец записи, получаем формулу (5.25).
Пример 5.3. Рассмотрим функцию
4)(
2
+= zzf
,
∈
z
. Полагая
iyxz
+
=
,
),(),()( yxivyxuzf +=
, получаем
(
)
(
)
xyiyxiyxyxivyxu 244),(),(
22
2
++−=++=+
,
т.е.
4),(
22
+−= yxyxu
,
xyyxv 2),( =
. Рассмотрим
iiyxz 2
000
=+=
, т.е.
0
0
=x
,
2
0
=y
. Функции
),( yxu
,
),( yxv
непрерывны
на
2
Ρ
,
в
частности
,
они
непрерывны
в
точке
)2,0(),(
00
=yx
.
Тогда
по
определению
непрерывности
вещественной
функции
0420)2,0(),(),(lim
22
00
),(),(
00
=+−===
→
uyxuyxu
yxyx
,
0202)2,0(),(),(lim
00
),(),(
00
=⋅⋅===
→
vyxvyxv
yxyx
.
Тогда
в
силу
теоремы
5.5 (
достаточность
)
(
)
0004lim)(lim
2
2
0
=⋅+=+=
→→
izzf
izzz
. (5.26)
Согласно
определению
5.8,
соотношение
(5.26)
означает
,
что
данная
функция
)(zf
является
бесконечно
малой
в
точке
iz 2
0
=
.
Докажем
основную теорему о пределах функций комплексного переменного
,
согласно
которой
в
результате
арифметических
операций
над
функциями
,
имеющими
конечный
предел
в
данной
точке
,
получаются
функции
,
которые
тоже
имеют
конечный
предел
в
этой
точке
.
Теорема 5.6. Пусть
функции
),(),()(
111
yxivyxuzf +=
и
),(),()(
222
yxivyxuzf +=
имеют
соответственно
конечные
пределы
111
ν+µ= iA
и
222
ν+µ= iA
в
точке
000
iyxz +=
:
11
)(lim
0
Azf
zz
=∃
→
, (5.27)
22
)(lim
0
Azf
zz
=∃
→
. (5.28)
Тогда
их
сумма
,
разность
,
произведение
и
частное
,
т
.
е
.
функции
)()(
21
zfzf +
,
)()(
21
zfzf −
,
)()(
21
zfzf ⋅
,
)(
)(
2
1
zf
zf
тоже
имеют
конечные
пределы
в
точке
0
z
и
[
]
0 0 0
1 2 1 2
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
z z z z z z
f z f z f z f z
→ → →
+ = +
, (5.29)
[
]
0 0 0
1 2 1 2
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
z z z z z z
f z f z f z f z
→ → →
− = −
, (5.30)
[
]
0 0 0
1 2 1 2
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
z z z z z z
f z f z f z f z
→ → →
⋅ = ⋅
, (5.31)

Страницы