Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0)(lim 0)(lim
00
=⇔=
→→
zfzf
zzzz
. (5.11)
Замечание 5.5. Если
0)(lim
0
≠=∃
→
Azf
zz
, то
(
)
|
0
zO
δ
∃
(
)
0)(
0
≠⇒∩∈∀
δ
zfzODz
&
.
Действительно, по определению предела для числа
2
A
=ε
(
)
|
0
zO
δ
∃
( )
2
)(
0
A
AzfzODz <−⇒∩∈∀
δ
&
. В силу (1.29)
=− Azf )(
)()( zfAzfA −≥−=
. Из последних двух неравенств получаем
2
)(
A
zfA <−
, откуда
0
2
)( >>
A
zf
,
следовательно,
( ) 0
f z
≠
для
(
)
0
z D O z
δ
∀ ∈ ∩
&
.
Справедливо также следующее утверждение.
Теорема 5.3.
)()( )(lim
0
zAzfAzf
zz
α+=⇔=∃
→
,
где
)(zα
− б.м.в. при
0
zz →
.
Теорема 5.3 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественной функции вещественной
переменной [2.11, с. 275].
Определение 5.9. Несобственное комплексное число
называется пределом функции
)(zf
в точке
0
z
(или при
0
zz →
), если для любого сколь угодно большого положительного числа Е найдётся положительное число
δ
, определяемое
в зависимости от взятого числа Е, такое что для любого
D
z
∈
, не равного
0
z
и отличного от
0
z
по модулю на величину,
меньшую
δ
, модуль соответствующего значения функции
)(zf
больше взятого числа Е.
Обозначение:
∞=
→
)(lim
0
zf
zz
(5.12)
или
0
( )
z z
f z
→
→ ∞
, или
( )f z
→ ∞
при
0
zz →
.
Итак, запись (5.12) означает на символическом языке следующее:
0
0 ( ) 0 | : 0 ( )
E E z D z z f z E
∀ > ∃ δ = δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ >
. (5.13)
О функции, для которой выполняется (5.12), говорят, что её предел при
0
zz →
равен бесконечности или что она
стремится к
при
0
zz →
. Такую функцию называют бесконечно большой величиной (б.б.в.) при
0
zz →
.
Условие (5.13) означает, что
+∞=
→
)(lim
0
zf
zz
, следовательно,
+∞=⇔∞=
→→
)(lim )(lim
00
zfzf
zzzz
. (5.14)
Условие
Ezf >)(
из (5.13) означает, что
)()( ∞∈
E
i
Ozf
, где
{
}
EzzO
E
i
>∈=∞ :)( Χ
−
E
i
-окрестность несобственного
комплексного числа
(см. § 3). Следовательно, на геометрическом языке запись (5.12) означает, что
(
)
(
)
0 0
( ) , ( ) | ( ) ( )
E E
i i
O O z E z D O z f z O
δ δ
∀ ∞ ∃ δ = δ ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈ ∞
&
.
Замечание 5.6. Если
)(zf
− б.м.в. в точке
0
z
, то
)(/1 zf
− б.б.в. в этой точке.
Замечание 5.7. Если
)(zf
− б.б.в. в точке
0
z
, то
)(/1 zf
− б.м.в. в этой точке.
Замечания 5.6, 5.7 справедливы в силу (5.11), (5.14) и верности этих замечаний для вещественных функций
вещественных переменных [2.11, с. 278].
Теорема 5.4. Произведение б.б.в. в данной точке и функции, ограниченной и отличной от нуля в некоторой проколотой
окрестности этой точки, есть б.б.в. в этой точке.
Доказательство теоремы 5.4 аналогично доказательству соответствующего утверждения для вещественных функций
вещественной переменной [2.11, с. 276, 278].
Пусть область определения
D
функции
)(zf
является неограниченным множеством. Тогда можно ставить вопрос о
поведении функции
)(zf
при стремлении аргумента
z
к несобственному комплексному числу
.
Определение 5.10. Комплексное число А называется пределом функции
)(zf
при
→
z
, если
0 ( ) 0 | : ( )z D z f z A
∀ε > ∃ ∆ = ∆ ε > ∀ ∈ > ∆ ⇒ − < ε
. (5.15)
Обозначение:
Azf
z
=
∞→
)(lim
(5.16)
или
( )
z
f z A
→∞
→
, или
( )
f z A
→
при
→
z
.

Страницы