Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Условие
∆>z
из (5.15) означает, что
)(∞∈
∆
i
Oz
, где
{
}
∆>∈=∞
∆
zzO
i
:)( Χ
−
∆
i
-окрестность несобственного
комплексного числа
∞
. Следовательно, на геометрическом языке запись (5.16) означает, что
( ) ( ), ( ) | ( ) ( ) ( )
i i
O A O z D O f z O A
∆ ∆
ε ε
∀ ∃ ∞ ∆ = ∆ ε ∀ ∈ ∩ ∞ ⇒ ∈
.
Укажем признак существования предела функции комплексного переменного в точке.
Теорема 5.5. Существование предела
ν
+
µ
=
iA
функции
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
+
=
в точке
000
iyxz +=
равносильно существованию предела
µ
её действительной части
),( yxu
и предела
ν
её мнимой части
),( yxv
в точке
(
)
00
, yx
.
Необходимость. Пусть
Azf
zz
=∃
→
)(lim
0
. (5.17)
Покажем, что
µ=∃
→
),(lim
),(),(
00
yxu
yxyx
. (5.18)
ν=∃
→
),(lim
),(),(
00
yxv
yxyx
. (5.19)
По определению предела, условие (5.17) означает, что выполняется (5.6). Имеем
(
)
(
)
000
yyixxzz −+−=−
,
=− Azf )(
[
]
+µ−),( yxu
[
]
ν−+ ),( yxvi
. Следовательно,
( ) ( )
( )
( )
2 2
0 0 0 0 0
, , ,
z z x x y y x y x y
− = − + − = ρ
, (5.20)
[ ] [ ]
2 2
( ) ( , ) ( , )f z A u x y v x y
− = − µ + − ν
, (5.21)
В силу (5.21) неравенство
ε<− Azf )(
из (5.6) принимает вид
[ ] [ ]
2 2
( , ) ( , )u x y v x y
−µ + −ν < ε
. (5.22)
Далее,
[ ] [ ] [ ]
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )u x y u x y u x y v x y
− µ = −µ ≤ − µ + − ν
. (5.23)
В силу (5.22), (5.23) справедливо неравенство
ε<µ−),( yxu
. (5.24)
Учитывая (5.6), (5.20) и (5.24) получаем для
0 ( ) 0 |
∀ε > ∃ δ = δ ε >
(
)
(
)
0 0
( , ) : 0 , , , ( , )x y D x y x y u x y
∀ ∈ < ρ < δ ⇒ − µ < ε
, а
это означает, по определению предела вещественной функции двух вещественных переменных, что выполняется (5.18).
Аналогично показывается выполнимость (5.19).
Достаточность. Пусть выполнены условия (5.18), (5.19). Покажем, что справедливо (5.17). Зафиксируем произвольное
сколь угодно малое
0
>
ε
. В силу (5.18) для числа
2
ε
|0)(
2
111
>εδ=
ε
δ=δ∃
(
)
(
)
0 0 1
( , ) : 0 , , ,x y D x y x y
∀ ∈ < ρ < δ ⇒
( , )
2
u x y
ε
− µ <
.
В силу (5.19) для числа
2
ε
|0)(
2
222
>εδ=
ε
δ=δ∃
(
)
(
)
0 0 2
( , ) : 0 , , ,x y D x y x y
∀ ∈ < ρ < δ ⇒
( , )
2
v x y
ε
− ν <
.
Положим
{
}
21
,min δδ=δ
. Заметим, что
)(εδ=δ
, ибо
)(
11
εδ=δ
,
)(
22
εδ=δ
. Тогда для
(
)
(
)
0 0
( , ) : 0 , , ,x y D x y x y
∀ ∈ < ρ < δ
имеем
[ ] [ ]
2 2 2 2
( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f z A u x y v x y u x y v x y
− = − µ + − ν = −µ + − ν <
2 2
2 2
ε ε
< + = ε
.
Получили: для
0
0 ( ) 0 | : 0z D z z
∀ε > ∃ δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒
ε<−⇒ Azf )(
, а это означает по определению предела
функции комплексного переменного, что выполняется (5.17).
Замечание 5.8. Если
)(lim
0
zf
zz→
∃
, то
)(lim
0
zf
zz→
∃
и

Страницы