Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Azf
zz
=
→
)(lim
0
(5.5)
или
0
( )
z z
f z A
→
→
, или
( )
f z A
→
при
0
zz →
.
Итак, запись (5.5) означает, по определению, следующее:
0
0 ( ) 0 | : 0 ( )z D z z f z A
∀ε > ∃ δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε
. (5.6)
Условия
δ<−<
0
0 zz
,
ε<− Azf )(
из (5.6) означают соответственно, что
)(
00
zOz
δ
∈
&
,
)()( AOzf
ε
∈
. Следовательно,
определение предела функции в точке можно сформулировать на геометрическом языке.
Определение 5.7. Точка А комплексной плоскости
Χ
называется пределом функции
)(zf
в точке
0
z
(или при
0
zz →
), если
(
)
(
)
0 0
( ) , ( ) | ( ) ( )
O A O z z D O z f z O A
ε δ δ ε
∀ ∃ δ = δ ε ∀ ∈ ∩ ⇒ ∈
&
(5.7)
(рис. 5.5).
Для функций комплексного переменного справедлива теорема о единственности предела.
Рис. 5.5
Теорема 5.1. Функция комплексного переменного не может иметь в точке двух различных пределов.
Теорема 5.1 доказывается точно так же, как соответствующее утверждение для вещественной функции вещественной
переменной [2.6, с. 131].
Укажем необходимый признак существования конечного предела функции в точке.
Теорема 5.2. Функция, имеющая конечный предел в точке, ограничена по модулю в некоторой окрестности этой точки.
Пусть
Azf
zz
=∃
→
)(lim
0
. Возьмём какое-либо конкретное число
0
ε
. Тогда в силу (5.7)
(
)
(
)
00
| zODzzO
δδ
∩∈∀∃
&
выполняется неравенство
( )f z A
− < ε
. (5.8)
В силу (1.29)
( ) ( )
f z A f z A
− ≥ −
. (5.9)
В силу (5.8), (5.9) получаем
( )
f z A
< ε +
,
(
)
0
zODz
δ
∩∈∀
&
,
а это означает, что функция
)(zf
ограничена в
(
)
0
zO
δ
в случае, когда
Dz ∈
0
. Если
Dz ∈
0
, то функция
)(zf
тоже
ограничена по модулю в
(
)
0
zO
δ
, ибо
Mzf ≤)(
,
(
)
0
zODz
δ
∩∈∀
,
где
( )
{
}
0
max ,
M A f z= ε +
.
Определение 5.8. Функция
)(zf
называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) в точке
0
z
(или при
0
zz →
), если её
предел в этой точке равен нулю:
0)(lim
0
=
→
zf
zz
, т.е. по определению предела,
0
0 ( ) 0 | : 0z D z z
∀ε > ∃ δ = δ ε > ∀ ∈ < − < δ ⇒
( ) 0 ( )f z f z
⇒ − = < ε
. (5.10)
Условие (5.10) означает, что
0)(lim
0
=
→
zf
zz
. Таким образом,

Страницы