Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание 5.3. Если
0
z
− предельная точка множества
D
, то в любой её сколь угодно малой δ-окрестности найдётся
бесконечно много точек множества
D
, отличных от
0
z
.
Действительно, для взятой
)(
0
zO
δ
DzOz ∩∈∃
δ
)(
~
0
&
, где
{
}
000
\)()( zzOzO
δδ
=
&
(
)(
0
zO
δ
&
называется проколотой δ-
окрестностью точки
0
z
). Рассмотрим
1 1
0 0
( ) | ( )
O z z O z
δ δ
∈
%
(для этого достаточно взять
1 0
z z
δ < −
%
). Тогда
DzOz ∩∈∃
δ
)(
01
1
&
. По построению,
1
≠
%
. Рассмотрим
)(|)(
010
22
zOzzO
δδ
∈
. Тогда
DzOz ∩∈∃
δ
)(
02
2
&
, при этом
12
zz ≠
,
2
z z
≠
%
и т.д. (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Замечание 5.4. Если
0
z
− предельная точка множества
D
, то
∃
последовательность
{
}
Dz
n
⊂
,
0
zz
n
≠
,
Ν
∈
∀
n
0
lim| zz
n
n
=
∞→
.
Действительно, рассмотрим последовательность окрестностей с центром в точке
0
z
радиуса
n
1
:
(
)
01
zO
n
,
Ν
∈
n
. Так как
0
z
− предельная точка множества, то
DzOz
∩∈∃
)(
011
&
;
120
2
12
|)( zzDzOz
≠∩∈∃
&
;
23130
3
13
,|)( zzzzDzOz
≠≠∩∈∃
&
; … ;
1 0
( ) |
n
n
z O z D
∃ ∈ ∩
&
11 ,
−≤≤∀≠
nkzz
kn
; (5.3)
… (возможность выбора точек, удовлетворяющих условию (5.3), осуществима в силу замечания 5.3). Получили
последовательность
DzOz
n
n
∩∈
)(
01
&
,
Ν
∈
n
. Её члены удовлетворяют условию
n
zz
n
1
0
<−
,
Ν
∈
n
. (5.4)
Зафиксируем произвольное сколь угодно малое положительное число
ε
. Положим
1
1
+
ε
=N
, где
ε
1
− целая часть числа
ε
1
. Тогда, используя неравенство (5.4), имеем для
Nn
>
∀
:
0
1 1 1 1
1
1
1
n
z z
n N
− < < = < = ε
+
ε
ε
.
Получили
0
0 ( ) |
n
N N n N z z
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
, а это означает, по определению предела числовой последовательности,
что
0
lim zz
n
n
=
∞→
.
Пусть задана однозначная функция
)(zfw =
,
D
z
∈
и
0
z
− предельная точка множества
D
.
Определение 5.6. Комплексное число А называется пределом функции
)(zf
в точке
0
z
(или при
z
, стремящемся к
0
z
), если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
найдётся положительное число
δ
, определяемое в
зависимости от взятого числа
ε
, такое что для любого
D
z
∈
, не равного
0
z
и отличного от
0
z
по модулю на величину,
меньшую
δ
, соответствующее значение функции
)(zf
отличается от числа А по модулю на величину, меньшую взятого
числа
ε
.
Обозначение:
y
х
i
0
1

Страницы