Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Полным прообразом точки
0
w
при отображении
f
называется совокупность всех её прообразов при этом отображении
(обозначение:
(
)
0
wp
).
По определению,
(
)
{
}
00
)(| wzfDzwp =∈=
.
Определение 5.2. Обратной функцией к функции
)(zfw =
,
D
z
∈
, называется функция
)(
1
wfz
−
=
, которая каждой
точке
Gw
∈
ставит в соответствие её полный прообраз при отображении
f
: для
Gw
∈
∀
)()(
1
wpwf =
−
, где
(
)
{
}
wzfDzwp =∈= )(|
.
Пример 5.1. Рассмотрим функцию
2
zw =
,
Χ
∈
z
(здесь
Χ
=
D
). Эта функция является однозначной, так как каждому
Χ
∈
z
соответствует только одно значение
2
. Например, при
iz 32
0
+=
получаем
iiiw 1251294)32(
2
0
+−=+−=+=
.
Точка
iw 125
0
+−=
является образом точки
iz 32
0
+=
при отображении
2
zw =
. Из формулы для извлечения корня
натуральной степени из комплексного числа (см. (1.33)) следует, что
0
w
имеет два значения: одно из них уже указано:
iz 32
0
+=
; другим значением является
iz 32
1
−−=
. Следовательно, полный прообраз точки
iw 125
0
+−=
имеет вид
(
)
{
}
iiwp 32 ;32
0
−−+=
.
Пример 5.2. Рассмотрим функцию zw = ,
Χ
∈
z
. В силу формулы (1.33) эта функция является многозначной, а
именно двузначной: если
(
)
cos sin
z i
= ρ ϕ + ϕ
, то
2 2
cos sin ; cos sin
2 2 2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ + π ϕ + π
= ρ + ρ +
или в силу формул приведения
2
cos
2
cos
ϕ
−=
π+
ϕ
,
2
sin
2
sin
ϕ
−=
π+
ϕ
,
cos sin ; cos sin
2 2 2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= ρ + − ρ +
.
Например, образом точки
iz +=1
0
при отображении
zw =
является совокупность двух точек
4 4
2 cos sin ; 2 cos sin
8 8 8 8
i i
π π π π
+ − +
.
Заметим, что образом точки
0
0
=z
при отображении
zw =
является одна точка
0
0
=w
.
Из примеров 5.1, 5.2 видно, что обратной функцией к функции
2
zw =
является функция
wz =
.
Среди однозначных функций комплексного переменного выделяют однолистные функции.
Определение 5.3. Однозначная функция
)(zfw =
,
D
z
∈
, называется однолистной
(или взаимно
однозначной) на
множестве
D
, если выполняется следующее условие:
(
)
(
)
212121
,, zfzfzzDzz ≠⇒≠∈∀
. (5.1)
Замечание 5.1. Однолистность функции
)(zfw =
на множестве
D
равносильна существованию однозначной
обратной к ней функции
)(
1
wfz
−
=
,
Gw
∈
, где
(
)
DfG =
− множество значений функции
)(zf
.
Определение 5.4. Однозначная функция
)(zfw =
,
D
z
∈
, называется многолистной
на
множестве
D
, если
выполняется следующее условие:
(
)
(
)
212121
|,, zfzfzzDzz =≠∈∃
. (5.2)
Примером однолистной функции является функция
52
+
=
zw
,
Χ
∈
z
. Обратная к ней функция имеет вид
2
5−
=
w
z
,
Χ
∈
w
.
Примером многолистной функции является функция
zw =
,
Χ
∈
z
из примера 5.2 (эта функция является двулистной).
Пусть задана функция комплексного переменного
)(zfw =
,
D
z
∈
. Представляя
и
w
в алгебраической форме:
iyxz
+
=
,
ivuw
+
=
, получаем
)( iyxfivu +=+
, т.е.
),( yxuu =
,
),( yxvv =
. Следовательно, функцию
)(zfw =
можно
представить в виде

Страницы