Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
∞
=1
2
n
n
n
i
. (4.32)
Имеем
2
1
n
z
n
=
,
∑∑
∞
=
∞
=
=
1
2
1
1
nn
n
n
z
.
Получили ряд Дирихле с
12
>
=
α
, следовательно, он сходится. А это означает, что ряд (4.32) сходится абсолютно.
Пример 4.2. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд
( )
∑
∞
=
+
1
1
n
n
i
. (4.33)
Имеем
( )
(
)
1 1 2
n
nn
n
z i i= + = + =
,
( )
lim lim 2 lim 0
n
n n
n n n
z z
→∞ →∞ →∞
= = +∞ ⇒ ≠
.
Следовательно, по достаточному признаку расходимости ряд (4.33) расходится.
Примером условно сходящегося ряда является ряд (4.19).
5. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО,
ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Понятие функции комплексного переменного; определение обратной функции; действительная и мнимая части
функции; определение сложной функции; понятие предельной точки множества; предел функции; теорема о
единственности предела; бесконечный предел функции; признак существования предела функции; основная теорема о
пределах функций; непрерывность функции в точке; непрерывность функции на множестве; признак непрерывности
функции в точке; основная теорема о непрерывных функциях.
Пусть
D
− некоторое подмножество множества комплексных чисел
(в частности,
D
может совпадать со всем
).
Определение 5.1. Говорят, что на множестве
D
задана функция
)(zfw =
комплексного переменного
z
, если каждому
числу
D
z
∈
поставлено в соответствие по некоторому закону
f
одно или более одного комплексных чисел.
Если каждому
D
z
∈
соответствует одно
w
, то функция
)(zfw =
называется однозначной. Если хотя бы одному
D
z
∈
соответствует более одного
w
, то функция
)(zfw =
называется многозначной.
Множество
D
называется областью определения функции
)(zfw =
, множество
{
}
DzzfwwG ∈=∈= ),(|Χ
− её
множеством (областью) значений.
Будем изображать значения аргумента
z
на комплексной плоскости , а значения функции
)(zfw =
на комплексной
плоскости (рис. 5.1).
Рис. 5.1
Геометрически функцию
)(zfw =
можно понимать как отображение множества
D
комплексной плоскости на
множество
G
комплексной плоскости . При этом говорят, что множество
G
является образом множества
D
при
отображении
f
и записывают:
(
)
DfG =
.
Пусть
0
z
− произвольная фиксированная точка из
D
, тогда соответствующее значение
)(
00
zfw =
называется
образом точки
0
z
при отображении
f
.
Если отображение
f
однозначно, то образ любой точки
D
z
∈
состоит из одной точки. В случае многозначности
отображения
f
образ хотя бы одной точки
D
z
∈
состоит более чем из одной точки.
Пусть
0
w
− произвольная фиксированная точка из
G
. Прообразом точки
0
w
при отображении
f
называется любая
точка
D
z
∈
, которая отображается в точку
0
w
:
0
)( wzf =
.

Страницы