Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
1
n n
n
x y
∞
=
+
∑
(4.24)
сходится как сумма двух сходящихся рядов [2.8, с. 453].
Заметим, что
Ρ∈∀+≤+ bababa , ,
22
. (4.25)
(действительно,
=+⋅+≤+
2222
2 bbaaba
=+⋅+
22
2 bbaa
( )
2
a b
= +
⇒
baba +≤+
22
). В силу (4.25)
Ν∈∀+≤+= nyxyxz
nnnnn
,
22
. (4.26)
Из (4.26) и сходимости ряда (4.24) следует, в силу первого признака сравнения, что ряд (4.16) сходится. А это означает, по
определению, что ряд (4.4) сходится абсолютно.
Докажем, что абсолютно сходящийся ряд с комплексными членами обладает переместительным свойством.
Теорема 4.7. Если данный ряд с комплексными членами сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного
ряда посредством произвольной перестановки его членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.
Пусть ряд (4.4) сходится абсолютно и сумма этого ряда равна
)2()1(
iSSS +=
. Тогда в силу теоремы 4.6
(необходимость) ряды (4.5) и (4.6) сходятся абсолютно. Рассмотрим ряд, полученный из ряда (4.4) посредством некоторой
перестановки его членов:
( )
∑∑
∞
=
∞
=
+=
11 k
nn
k
n
kkk
iyxz
. (4.27)
В силу абсолютной сходимости рядов (4.5), (4.6) и переместительного свойства для абсолютно сходящегося ряда с
действительными членами [2.8, с. 450] ряды
∑
∞
=1k
n
k
x
,
∑
∞
=1k
n
k
y
(4.28)
сходятся абсолютно и
∑∑
∞
=
∞
=
=
11 n
n
k
n
xx
k
,
∑∑
∞
=
∞
=
=
11 n
n
k
n
yy
k
. (4.29)
В силу теоремы 4.1
)1(
1
Sx
n
n
=
∑
∞
=
,
)2(
1
Sy
n
n
=
∑
∞
=
. (4.30)
В силу (4.29), (4.30)
)1(
1
Sx
k
n
k
=
∑
∞
=
,
)2(
1
Sy
k
n
k
=
∑
∞
=
. (4.31)
Итак, ряды (4.28) сходятся абсолютно. Следовательно, в силу теоремы 4.6 (достаточность) ряд (4.27) сходится
абсолютно. Кроме того, в силу (4.31) и теоремы 4.1 сумма ряда (4.27) равна
SiSS =+
)2()1(
.
Укажем условия, при которых сумма произведения рядов
1 1 1 ,
n n k l
n n k l
z z
∞ ∞
= = ≤ <∞
⋅ ζ = ζ
∑ ∑ ∑
не зависит от порядка следования слагаемых
lk
z ζ
(
∞<≤ lk
,1
).
Теорема 4.8. Если перемножаемые ряды с комплексными членами абсолютно сходятся, то произведение этих рядов,
отвечающее любому порядку следования слагаемых
lk
z ζ
(
∞<≤ lk
,1
), является абсолютно сходящимся рядом, сумма
которого равна произведению сумм перемножаемых рядов.
Теорема 4.8 доказывается точно так же, как и соответствующее утверждение для числовых рядов с вещественными
членами [2.8, с. 453].
Замечание 4.4. Если ставится задача об исследовании ряда на абсолютную и условную сходимость, то её решение
удобно начинать с исследования на сходимость ряда (4.16), ибо 1) если окажется, что
0lim
≠
∞→
n
n
z
или такой предел не
существует, то по достаточному признаку расходимости ряд (4.4) расходится; 2) если ряд (4.16) окажется сходящимся, то ряд
(4.4) сходится абсолютно; 3) если при исследовании ряда (4.16) применялся признак Даламбера или признак Коши и
оказалось, что
1lim
1
>=
+
∞→
n
n
n
z
z
D
или
1lim
>=
∞→
n
n
n
zK
, то из любого из этих неравенств вытекает, что
0lim
≠
∞→
n
n
z
,
следовательно, ряд (4.4) расходится.
Пример 4.1. Исследуем на абсолютную и условную сходимость ряд

Страницы