Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 25 стр.

UptoLike

Составители: 

В правой части равенства (4.13) записана конечная сумма слагаемых вида
lk
z ζ
, поэтому неважно в каком порядке
перечислены эти слагаемые. Иначе обстоит дело, если речь идёт об умножении рядов.
Под произведением рядов (4.8), (4.9) естественно понимать ряд, членами которого являются всевозможные слагаемые
вида
lk
z ζ
(
<k1
,
< l1
). Эти слагаемые можно перечислять различными способами. Каждому такому способу будет
отвечать свой ряд
1 ,
k l
k l
z
<
ζ
. (4.14)
Например, можно группировать слагаемые
lk
z ζ
с одинаковой суммой индексов
nlk =+
(
...,3,2
=
n
):
1
1 1 2 2 1
n
n n k l k n k
n n n k l n n k
z z z
= = = + = = =
ζ = ζ = ζ =
(
)
(
)
1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1
z z z z z z
= ζ + ζ + ζ + ζ + ζ + ζ +
. (4.15)
Определение 4.8.
Произведением рядов
(4.8), (4.9),
отвечающим
данному
порядку
следования
слагаемых
lk
z ζ
(
<
lk,1
),
называется
ряд
вида
(4.14),
в
котором
члены
ряда
записаны
в
данном
порядке
.
Например
,
произведение
рядов
,
взятое
в
виде
(4.15),
называется
произведением рядов в форме Коши
.
Вопрос
об
условиях
,
при
которых
произведение
рядов
сходится
,
будет
рассмотрен
ниже
(
см
.
теорему
4.8).
Укажем
необходимый признак сходимости ряда с комплексными членами
.
Теорема 4.4.
Если
ряд
с
комплексными
членами
сходится
,
то
предел
его
общего
члена
равен
нулю
.
Пусть
ряд
(4.4)
сходится
.
Тогда
в
силу
теоремы
4.1
ряды
(4.5)
и
(4.6)
тоже
сходятся
.
Следовательно
,
в
силу
необходимого
признака
сходимости
числовых
рядов
с
вещественными
членами
[2.8,
с
. 430]
0lim =
n
n
x
и
0lim =
n
n
y
.
Тогда
в
силу
теоремы
2.4
000lim =+=
iz
n
n
.
Как
следствие
теоремы
4.4
получаем
достаточный признак расходимости ряда
:
если
предел
общего
члена
ряда
отличен
от
нуля
или
не
существует
,
то
ряд
расходится
.
В
силу
(2.4)
этот
признак
можно
сформулировать
в
виде
:
если
предел
модуля
общего
члена
ряда
отличен
от
нуля
или
не
существует
,
то
ряд
расходится
.
Докажем
достаточный признак сходимости ряда с комплексными членами
.
Для
этого
запишем
ряд
,
составленный
из
модулей
членов
ряда
(4.4):
=
=
+=
11 n
nn
n
n
iyxz
. (4.16)
Замечание 4.2.
Ряд
(4.16)
это
знакоположительный
ряд
и
для
исследования
его
на
сходимость
можно
применять
известные
признаки
сходимости
знакоположительных
рядов
,
например
,
первый
признак
сравнения
[2.8,
с
. 433],
второй
(
или
предельный
)
признак
сравнения
[2.8,
с
. 434],
признак
Даламбера
[2.8,
с
. 436],
признак
Коши
[2.8,
с
. 437].
Теорема 4.5.
Пусть
ряд
с
комплексными
членами
таков
,
что
ряд
,
составленный
из
модулей
его
членов
,
сходится
.
Тогда
исходный
ряд
тоже
сходится
.
Пусть
ряд
(4.16)
сходится
.
Покажем
,
что
ряд
(4.4)
сходится
.
Для
Ν
n
имеем
2 2
2 2
n n n n n n
x x y x y z
+ = + =
,
2 2
2 2
n n n n n n
y x y x y z
+ = + =
.
Следовательно
,
по
первому
признаку
сравнения
,
ряды
=
1n
n
x
, (4.17)
=
1n
n
y
, (4.18)
сходятся
а
,
значит
,
в
силу
достаточного
признака
сходимости
знакопеременных
рядов
с
вещественными
членами
[2.8,
с
. 446]
ряды
(4.5)
и
(4.6)
сходятся
.
Тогда
по
теореме
4.1 (
достаточность
)
ряд
(4.4)
сходится
.
Замечание 4.3. Утверждение
,
обратное
теореме
4.5,
неверно
,
т
.
е
.
если
сходится
ряд
(4.4),
то
это
вовсе
не
означает
,
что
сходится
и
ряд
(4.16).
Рассмотрим
,
например
,
ряд
=
1n
n
n
i
. (4.19)
Пусть
nnn
iyxz +=
,
Ν
n
.
Тогда
,
используя
тригонометрическую
форму
комплексного
числа
i
и
формулу
Муавра
(
см
.
(1.30)),
имеем