ВУЗ:
Составители:
(
)
)1()1()2()1()2()1(
limlim SSiSSiSS
n
n
nn
n
=∃⇔+=+∃
∞→∞→
и
)2()2(
lim SS
n
n
=∃
∞→
,
которое справедливо в силу теоремы 2.4.
В силу теоремы 4.1 сумму ряда (4.4) можно записать в виде
( )
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=+
111 n
n
n
n
n
nn
yixiyx
. (4.7)
Определение 4.5. Суммой рядов
∑
∞
=1n
n
z
(4.8)
и
∑
∞
=
ζ
1n
n
(4.9)
называется ряд вида
( )
∑
∞
=
ζ+
1n
nn
z
. (4.10)
Определение 4.6. Разностью рядов (4.7) и (4.8) называется ряд вида
( )
∑
∞
=
ζ−
1n
nn
z
.
Определение 4.7. Произведением ряда (4.8) на комплексное число
ζ
называется ряд вида
1
n
n
z
∞
=
ζ
∑
. (4.11)
В силу определений 4.5, 4.7 ряд (4.4) можно записать в виде
( )
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=+
111 n
n
n
n
n
nn
yixiyx
. (4.12)
Заметим, что совершенно одинаковые записи (4.7) и (4.12) имеют различное смысловое содержание.
Теорема 4.2. Если сходятся ряды (4.8), (4.9) и их суммы равны соответственно
S
и
H
, то сходится также ряд (4.10) и
его сумма равна
HS
+
:
( )
HSz
n
nn
+=ζ+
∑
∞
=1
.
Теорема 4.3. Если сходится ряд (4.8) и его сумма равна
S
, то сходится также ряд (4.11) и его сумма равна
S
ζ
:
Sz
n
n
ζ=ζ
∑
∞
=1
.
Теоремы 4.2, 4.3 доказываются точно так же, как соответствующие теоремы для числовых рядов с вещественными
членами [2.8, с. 453], при этом используются свойства (2.21), (2.26) пределов последовательностей комплексных чисел.
Таким образом, сумма двух сходящихся рядов и произведение сходящегося ряда на число являются сходящимися
рядами. Следовательно, разность двух сходящихся рядов, которую можно записать в виде
( )
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
ζ⋅−+=ζ−
111
)1(
n
n
n
n
n
nn
zz
,
тоже является сходящимся рядом и
( )
HSz
n
nn
−=ζ−
∑
∞
=1
.
Операции сложения и вычитания рядов, а также умножения ряда на число называются линейными
операциями
над
рядами.
При определении произведения рядов (4.8), (4.9) исходят из правила умножения конечных сумм:
∑∑∑
≤≤
≤≤==
ζ=
ζ⋅
2
1
21
1
111
Nl
Nk
lk
N
n
n
N
n
n
zz
. (4.13)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
