Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3.3
Уравнение сферы
S
имеет вид
4
1
2
1
2
22
=
−++ hyx
. Каждой точке
z
комплексной плоскости
Χ
поставим в
соответствие точку
M
, которая является точкой пересечения сферы
S
с отрезком, соединяющим точки
z
и
N
. Точка
M
называется сферическим изображением комплексного числа
z
. Заметим, что точке
0
=
z
будет соответствовать точка
(
)
0;0;0O
сферы
S
. Обратно, каждой точке
{
}
NSM \∈
можно поставить в соответствие точку
Χ
∈
z
, которая является
точкой пересечения продолжения отрезка
NM
с комплексной плоскостью
Χ
. Таким образом, между множеством точек
комплексной плоскости
Χ
и множеством точек
{
}
NS \
существует взаимно однозначное соответствие. Точке
N
не
соответствует ни одна точка
Χ
∈
z
. Окружности
)0(
r
O
на комплексной плоскости
Χ
при
→
r
"стремятся " к
бесконечно удалённой окружности
)0(
∞
O
, при этом их образы на поверхности
S
("параллели" на поверхности
S
)
"стягиваются" в точку
N
. В силу этого можно условно считать, что точке
N
соответствует бесконечно удалённая
окружность
)0(
∞
O
. При таком соглашении установлено взаимно однозначное соответствие между множеством
Χ
и
множеством
S
. Это соответствие называется стереографической проекцией. Сфера
S
, точки которой отождествлены с
элементами расширенной комплексной плоскости, называется сферой комплексных чисел или сферой Римана.
Итак, геометрической интерпретацией несобственного комплексного числа
∞
=
z
можно считать "северный полюс"
(
)
1;0;0N
сферы Римана.
4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Числовой ряд, частичная сумма ряда; понятия сходящегося и расходящегося ряда; признак сходимости ряда; линейные
операции над рядами, их свойства; произведение рядов; необходимый признак сходимости ряда; достаточный признак
расходимости ряда; достаточный признак сходимости ряда; абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся ряды; признак
абсолютной сходимости ряда; переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда; свойство произведения
абсолютно сходящихся рядов.
При исследовании свойств функций комплексного переменного используются разложения этих функций в
функциональные ряды с комплексными членами. Кроме того, некоторые основные элементарные функции комплексного
переменного определяются как суммы степенных рядов. В связи с этим возникает необходимость изучения числовых и
функциональных рядов с комплексными членами.
Определение 4.1. Числовым рядом с комплексными членами называется любое выражение вида
......
21
++++
n
zzz
, (4.1)
где
...,...,,,
21 n
zzz
− последовательность комплексных чисел, которые называются членами ряда (
1
z
− первый член ряда;
2
z
− второй член ряда, …,
n
z
− n-й или общий член ряда, …).
Краткое обозначение числового ряда:
∑
∞
=1n
n
z
. (4.2)
Замечание 4.1. В дальнейшем в целях краткости числовой ряд будем называть рядом.
Определение 4.2. n-й частичной суммой ряда называется сумма его первых n членов (обозначение:
n
S
):

Страницы