Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

cc
n
=
∞→
lim
. (2.25)
Если последовательность
{
}
n
z
сходится, то для
Χ
∈
∀
c
последовательность
{
}
{
}
n n
c z c z
⋅ =
тоже сходится и
)
lim lim
n n
n n
c z c z
→∞ →∞
=
(2.26)
(соотношение (2.26) следует из (2.23), (2.25)).
3. РАСШИРЕННАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Бесконечно удалённая окружность комплексной плоскости; понятие несобственного комплексного числа; расширенное
множество комплексных чисел; расширенная комплексная плоскость; бесконечно большая последовательность;
окрестность несобственного комплексного числа; сферическое изображение комплексных чисел.
Введём понятие несобственного комплексного числа. Числовой луч
L
можно "пополнить" единственной бесконечно
удалённой точкой
L
∞
, которую можно условно считать образом точки
(
)
1;0N
при отображении полуокружности
4
1
2
1
2
2
=
−+ yx
,
0
≥
x
, на луч
L
(рис. 3.1).
Рис. 3.1
Так как
π−
∪= LL
0
Ρ
, где
{
}
0|
0
≥∈= xxL Ρ|
,
{
}
0| ≤∈=
π−
xxL Ρ|
, то числовую прямую можно "пополнить" двумя
бесконечно удалёнными точками
+∞=∞
0
L
и
−∞=∞
π−
L
. Комплексную плоскость можно представить в виде
[
)
U
ππ−∈ϕ
ϕ
=
;
LΧ
,
где
ϕ
L − луч, исходящий из точки
0
=
z с углом наклона
ϕ
к положительному направлению действительной оси. Для
каждого
[
)
ππ−∈ϕ ;
луч
ϕ
L можно "пополнить" бесконечно удалённой точкой
ϕ
∞
L
. Следовательно, комплексную плоскость
можно "пополнить" бесконечным множеством бесконечно удалённых точек, точнее, к комплексной плоскости можно
"присоединить" множество вида
[
)
{
}
(0) | ;
L
O
ϕ
∞
= ∞ ϕ∈ −π π
. С другой стороны,
U
0
,
)0(
≥
∈
=
r
r
r
O
Ρ
Χ
, где
{
}
(0) :
r
O z z r
= ∈ =
C
. В
силу этого множество
)0(
∞
O
можно условно назвать бесконечно удалённой окружностью комплексной плоскости.
Определение 3.1. Несобственным комплексным числом называется символ
∞
, отождествляемый с бесконечно
удалённой окружностью комплексной плоскости.
Замечание 3.1. Общепринято считать, что несобственное комплексное число
∞
=
z
является единственной бесконечно
удалённой точкой на комплексной плоскости [1.4, с. 27].
Расширенное множество комплексных чисел получается в результате присоединения ко множеству
Χ
несобственного
комплексного числа
∞
=
z
:
{
}
∞∪= ΧΧ
.
Соответственно, расширенная комплексная плоскость получается в результате присоединения к комплексной
плоскости
Χ
бесконечно удалённой окружности.
Определение 3.2. Несобственное комплексное число
∞
называется пределом последовательности комплексных чисел
{
}
n
z
, если для любого сколь угодно большого положительного числа Е найдётся номер N, определяемый в зависимости от
взятого числа Е, такой, что для любого номера
Nn
>
модуль соответствующего члена последовательности
n
z
больше
взятого числа Е.

Страницы