Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
( )( )
2 2
2
2 1
2 2 2
1 1 1
1
n n
n i ni
n i n n i i ni
x iy
ni ni ni
n
+ −
+ − + −
+ = = = =
+ + −
+
2
2
2
1
2
1
3
n
n
i
n
n
+
−
⋅+
+
=
,
т.е.
2
1
3
n
n
x
n
+
=
,
2
2
1
2
n
n
y
n
+
−
=
,
Ν
∈
n
. Тогда
0
1
0
1
1
3
lim
1
3
limlim
2
2
==
+
=
∞
∞
=
+
=
∞→∞→∞→
n
n
n
n
x
nn
n
n
,
1
1
1
1
1
1
2
lim
1
2
limlim
2
2
2
2
−=
−
=
+
−
=
∞
∞
=
+
−
=
∞→∞→∞→
n
n
n
n
y
nn
n
n
.
Следовательно, в силу теоремы 2.4 (достаточность)
iiz
n
n
−=−=∃
∞→
0lim
.
Докажем основную теорему о пределах последовательностей комплексных чисел, согласно которой в результате
арифметических операций над сходящимися последовательностями получаются последовательности, которые тоже
сходятся.
Теорема 2.5. Пусть последовательность
nnn
iyxz +=
,
Ν
∈
n
, сходится к числу
ν
ia
, а последовательность
nnn
iqp +=ζ
,
Ν
∈
n
, сходится к числу
λ+γ= ib
. Тогда сумма, разность, произведение и частное этих последовательностей,
т.е. последовательности
{
}
nn
z ζ+
,
{
}
nn
z ζ−
,
{
}
nn
z ζ
,
ζ
n
n
z
тоже сходятся и
(
)
n
n
n
n
nn
n
zz ζ+=ζ+
∞→∞→∞→
limlimlim
, (2.21)
(
)
n
n
n
n
nn
n
zz ζ−=ζ−
∞→∞→∞→
limlimlim
, (2.22)
(
)
n
n
n
n
nn
n
zz ζ⋅=ζ
∞→∞→∞→
limlimlim
, (2.23)
n
n
n
n
n
n
n
z
z
ζ
=
ζ
∞→
∞→
∞→
lim
lim
lim
, (2.24)
при этом, в случае частного предполагается, что
0lim ≠ζ
∞→
n
n
.
В силу теоремы 2.4 (необходимость) существуют
µ=
∞→
n
n
xlim
,
ν=
∞→
n
n
ylim
,
γ=
∞→
n
n
plim
,
λ=
∞→
n
n
qlim
. Следовательно,
в силу основной теоремы о пределах последовательностей вещественных чисел [2.11, с. 224] существуют
(
)
γ+µ=+
∞→
nn
n
pxlim
,
(
)
λ+ν=+
∞→
nn
n
qylim
.
Тогда, в силу теоремы 2.4 (достаточность) последовательность
(
)
(
)
nnnnnn
qyipxz +++=ζ+
,
Ν
∈
n
,
сходится и
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=λ+γ+ν+µ=λ+ν+γ+µ=ζ+
∞→
iiiz
nn
n
lim
n
n
n
n
zba ζ+=+=
∞→∞→
limlim
,
т.е. справедлива формула (2.21). Аналогично доказываются оставшиеся части утверждения теоремы.
Если
cz
n
=
для
Ν
∈
∀
n
, где
const
c
, то
cz
n
n
=
∞→
lim
, т.е.

Страницы