Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Из (2.12), (2.13) получаем
ε<− az
n
, т.е.
ε+< az
n
,
Nn
>
∀
. (2.14)
Положим
{
}
..., , , , max
21 N
zzzaM ε+=
. Тогда с учётом (2.14) имеем
Mz
n
≤
,
Ν
∈
∀
n
.
Замечание 2.3. Не всякая ограниченная последовательность комплексных чисел является сходящейся.
Например, последовательность
iz
n
n
)1(−=
,
Ν
∈
n
, ограничена (
1≤
n
z
,
Ν
∈
∀
n
), но не является сходящейся, так как на
комплексной плоскости нет такой точки, в любой сколь угодно малой
ε
-окрестности которой содержались бы все члены
последовательности
{
}
n
z
, начиная с некоторого номера.
Установим признак сходимости последовательности комплексных чисел.
Теорема 2.4. Сходимость последовательности комплексных чисел
nnn
iyxz +=
,
Ν
∈
n
, к комплексному числу
ν
+
µ
=
ia
равносильна сходимости последовательностей
{
}
n
x
и
{
}
n
y
действительных и мнимых частей членов
последовательности
{
}
n
z
соответственно к числам
µ
и
ν
.
Необходимость. Пусть
lim
n
n
z a
→∞
∃ =
. (2.15)
Покажем, что
lim
n
n
x
→∞
∃ = µ
, (2.16)
lim
n
n
y
→∞
∃ = ν
. (2.17)
По определению предела, условие (2.15) означает, что для
0 ( ) |
∀ε > ∃ = ε ∀ >
выполняется
ε<− az
n
. (2.18)
Имеем
(
)
(
)
ν−+µ−=−
nnn
yixaz
,
( ) ( )
22
ν−+µ−=−
nnn
yxaz
и неравенство (2.18) принимает вид
( ) ( )
ε<ν−+µ−
22
nn
yx
. (2.19)
Заметим, что
( ) ( ) ( )
222
ν−+µ−≤µ−=µ−
nnnn
yxxx
. (2.20)
В силу (2.19), (2.20) справедливо неравенство
ε<µ−
n
x
. Получили следующее: для
0 ( ) |
n
N N n N x
∀ε > ∃ = ε ∀ >
⇒
− µ < ε
, а это означает, по определению предела последовательности вещественных чисел,
что выполняется (2.16). Аналогично показывается выполнимость (2.17).
Достаточность. Пусть выполнены условия (2.16), (2.17). Покажем, что справедливо (2.15). Зафиксируем произвольное
сколь угодно малое
0
>
ε
. По определению предела, в силу (2.16) для числа
2
ε
|)(
2
111
ε=
ε
=∃ NNN
2
1
ε
<µ−
⇒
>∀
n
xNn
; в силу (2.17) для числа
2
ε
|)(
2
222
ε=
ε
=∃ NNN
2
2
ε
<ν−
⇒
>∀
n
yNn
. Положим
{
}
21
,max
NNN =
. Заметим, что
)(
ε
=
NN
,
ибо
)(
11
ε= NN
,
)(
22
ε= NN
.
Тогда
для
Nn
>
∀
( ) ( )
<ν−+µ−=ν−+µ−=−
22
22
nnnnn
yxyxaz
ε=
ε
+
ε
<
22
22
.
Получили
следующее
:
для
0 ( ) |N N n N
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒
n
z a
⇒ − < ε
,
а
это
означает
по
определению
предела
последовательности
комплексных
чисел
,
что
выполняется
(2.15).
Пример 2.3. Рассмотрим
последовательность
ni
in
z
n
+
+
=
1
2
,
Ν
∈
n
.
Найдём
действительные
и
мнимые
части
членов
последовательности
{
}
n
z
.
Пусть
nnn
iyxz +=
,
тогда

Страницы