Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В силу (1.29)
n n
z a z a
− ≥ −
, (2.8)
n n n
z a a z a z
− = − ≥ −
. (2.9)
В силу (2.7) – (2.9)
,
n
n
z a
a z
− < ε
− < ε
следовательно,
n
z a
−ε < − < ε
, т.е.
n
z a
. Получили
0 ( ) |
n
N N n N z a
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
, а это означает, по определению предела, что выполняется (2.6).
Замечание 2.2. Утверждение, обратное теореме 2.1, неверно (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Из рис. 2.2 видно, что
lim
n
n
z A
→∞
=
, но
lim
n
n
z B A
→∞
= ≠
.
Для последовательностей комплексных чисел справедлива теорема о единственности предела.
Теорема 2.2. Всякая сходящаяся последовательность комплексных чисел имеет единственный предел.
Теорема 2.2 доказывается точно так же, как соответствующая теорема о единственности предела последовательности
вещественных чисел [2.11, с. 222].
Определение 2.8. Последовательность
{
}
n
z
называется ограниченной, если
ΝΡ? ∈∀≤>∈∃ nMzMM
n
,:0 ,
, (2.10)
т.е., если существует замкнутый круг
)0(
M
O
, содержащий все точки этой последовательности.
Определение 2.9. Последовательность
{
}
n
z
называется неограниченной, если
MznMM
n
>∈∃>∈∀
: 0 ,
ΝΡ?
,
т.е., если взять замкнутый круг с центром в точке
0
0
=z
сколь угодно большого радиуса М, то найдутся точки этой
последовательности, не принадлежащие взятому кругу.
Укажем необходимый признак сходимости последовательности комплексных чисел.
Теорема 2.3. Всякая сходящаяся последовательность комплексных чисел ограничена.
Пусть
{
}
n
z
− сходящаяся последовательность, т.е.
lim
n
n
z a
→∞
∃ =
. (2.11)
Покажем, что последовательность
{
}
n
z
ограничена, т.е. выполняется (2.10). Возьмём фиксированное
0
>
ε
. Тогда из (2.11)
следует в силу (2.2), что
NnNN >∀ε=∃
|)(
выполняется
ε<− az
n
. (2.12)
В силу (1.29)
n n
z a z a
− ≥ −
. (2.13)

Страницы