Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2.1
Определение 2.5. Последовательность
{
}
n
z
называется сходящейся, если
lim
n
n
z a
→∞
∃ =
, где
a
∈
C
, т.е. если она имеет
конечный предел.
Определение 2.6. Последовательность
{
}
n
z
называется расходящейся, если она не имеет конечного предела.
Среди сходящихся последовательностей выделяют бесконечно малые последовательности.
Определение 2.7. Последовательность
{
}
n
z
называется бесконечно малой, если её предел равен нулю:
n
n
z
→∞
=
, т.е.
по определению предела,
0 ( ) | 0
n n
N N n N z z
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − = < ε
. (2.3)
Условие (2.3) означает, что
lim 0
n
n
z
→∞
=
.
Таким образом,
lim 0 lim 0
n n
n n
z z
→∞ →∞
= ⇔ =
. (2.4)
Пример 2.2. Последовательность
( )
1
1
n
n
z
i
=
−
,
n
∈
N
, является бесконечно малой.
Действительно,
( )
( )
( )
1
1 1 1
1
1
1
2
n
n n n
n
z
i
i
i
= = = =
−
−
−
,
( )
1
lim lim 0
2
n
n
n n
z
→∞ →∞
= =
,
следовательно, в силу (2.4)
n
n
z
→∞
=
.
Теорема 2.1. Если
lim
n
n
z a
→∞
=
, (2.5)
то
lim
n
n
z a
→∞
=
. (2.6)
При
0
a
=
теорема 2.1 следует из (2.4). Пусть
0
a
≠
. Соотношение (2.5) означает, по определению предела, что для
0 ( ) |
N N n N
∀ε > ∃ = ε ∀ >
выполняется
n
z a
− < ε
. (2.7)

Страницы