Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ С
КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Понятие числовой последовательности; предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся
последовательности; бесконечно малые последовательности; теорема о единственности предела; ограниченные и
неограниченные последовательности; необходимый признак сходимости последовательности; признак сходимости
последовательности; основная теорема о пределах последовательностей.
При построении теории функций комплексного переменного (ТФКП) важную роль имеют последовательности и ряды,
членами которых являются комплексные числа.
Определение 2.1. Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по заданному закону (правилу)
f
некоторое число
n
z
∈
C
, то говорят что задана числовая последовательность (ч.п.) с комплексным членами
1 2
, ,..., ,...
n
z z z
(
1
z
− первый член ч.п.;
2
z
− второй член ч.п.; …,
n
z
− n-й (или общий) член ч.п., …).
Краткое обозначение ч.п.:
{ }
1
n
n
z
=
или
{
}
n
z
.
Замечание 2.1. В этом параграфе будут рассматриваться только ч.п., поэтому в целях краткости будем называть их
последовательностями.
Последовательность
{
}
n
z
считается заданной, если указан закон
f
, по которому можно найти любой её член
n
z
.
Последовательность можно задать, указав явную формулу для её общего члена:
( )
n
z f n
=
,
n
∈
N
.
Пример 2.1.
5
n
z n i
= +
,
n
∈
N
. Это последовательность вида
1 5 , 2 5 , 3 5 , ..., 5 , ...
i i i n i
+ + + +
.
Определение 2.2. Комплексное число
a i
= µ + ν
называется пределом
последовательности
комплексных
чисел
n n n
z x iy
= +
,
n
∈
N
, если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
найдётся номер
N
, определяемый в
зависимости от взятого числа
ε
, такой, что для любого номера
n N
>
соответствующий член последовательности
n
z
отличается от числа
a
по модулю на величину, меньшую взятого числа
ε
.
Обозначение:
lim
n
n
z a
→∞
=
(2.1)
или
n
n
z a
→∞
→
, или
n
z a
→
при
n
→ ∞
.
Итак, запись (2.1) означает, по определению, следующее:
0 ( ) |
n
N N n N z a
∀ε > ∃ = ε ∀ > ⇒ − < ε
. (2.2)
Сформулируем определение предела последовательности на геометрическом языке.
Определение 2.3. ε
-
окрестностью
точки
a
называется открытый круг с центром в точке
a
радиуса
ε
(обозначение:
( )
O a
ε
).
По определению,
{
}
( ) :O a z z a
ε
= ∈ − < ε
C
.
Условие
n
z a
− < ε
из (2.2) означает, что
( )
n
z O a
ε
∈
. Следовательно, (2.2) равносильно следующему определению.
Определение 2.4. Точка
a i
= µ + ν
комплексной плоскости
C
называется пределом
последовательности
точек
n n n
z x iy
= +
,
n
∈
N
, если для любой сколь угодно малой ε-окрестности точки а найдётся номер
N
, определяемый в
зависимости от радиуса взятой ε-окрестности, такой, что для любого
n N
>
соответствующая точка
n
z
принадлежит взятой
ε-окрестности точки а.
Таким образом, запись (2.1) означает на геометрическом языке следующее:
( ) ( ) | ( )
n
O a N N n N z O a
ε ε
∀ ∃ = ε ∀ > ⇒ ∈
,
т.е. если взять любую сколь угодно малую
ε
-окрестность точки
a
, то вне этой окрестности может оказаться лишь конечное
число членов последовательности
{
}
n
z
(рис. 2.1).

Страницы